Эйлер: прямая, которую не заметили двадцать три века

Работа с обманчивым названием

«Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum» — «Лёгкое решение некоторых труднейших геометрических задач». Работа помечена 1765 годом в «Novi Commentarii» Петербургской академии; доложена она была двумя годами раньше.

Название не кокетство. Задача, за которую взялся Эйлер, выглядит безнадёжной, а решается несколькими строками.

Задача: восстановить треугольник по трём точкам

В треугольнике есть несколько «замечательных точек», и школьник знает три из них:

$O$ — центр описанной окружности, точка пересечения серединных перпендикуляров;
$G$ — точка пересечения медиан, она же центр тяжести;
$H$ — точка пересечения высот, ортоцентр.

Эйлер спрашивает: если даны эти три точки, можно ли восстановить сам треугольник? Задача действительно трудная — и в ходе её решения обнаруживается вещь, из-за которой всё это и попало на нашу карту.

Прямая Эйлера

Точки $O$, $G$ и $H$ всегда лежат на одной прямой, причём
$$OG : GH = 1 : 2.$$

То есть три точки, определённые совершенно по-разному — через серединные перпендикуляры, через медианы и через высоты, — оказываются на одном отрезке, и центр тяжести делит его в отношении один к двум, ближе к центру описанной окружности.

Значит, восстановить треугольник по трём произвольно заданным точкам нельзя: если они не лежат на одной прямой в нужном отношении, такого треугольника не существует. Отрицательный ответ на исходный вопрос оказался куда интереснее положительного.

Доказательство в две строки

Векторное доказательство школьник десятого класса проводит сам. Возьмём центр описанной окружности $O$ за начало отсчёта и обозначим через $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ радиус-векторы вершин. Тогда

$$\overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3},\qquad \overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c .$$

Первое — известная формула центра тяжести. Второе проверяется прямо: вектор $\vec a+\vec b+\vec c-\vec a=\vec b+\vec c$ перпендикулярен стороне $BC$, потому что $(\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=|\vec b|^2-|\vec c|^2=R^2-R^2=0$. Значит, точка с радиус-вектором $\vec a+\vec b+\vec c$ лежит на высоте из вершины $A$ — а по симметрии и на двух других.

Сравните два выражения:

$$\overrightarrow{OH}=3\,\overrightarrow{OG}.$$

Векторы сонаправлены — точки лежат на одной прямой; длина втрое больше — отношение $OG:GH$ равно $1:2$. $\blacksquare$

Обратите внимание на побочный улов: попутно доказано, что высоты вообще пересекаются в одной точке. У Эйлера это выходит даром.

Формула $d^2=R^2-2Rr$ и человек, нашедший её раньше

В той же работе появляется вторая знаменитая формула. Если $O$ — центр описанной окружности радиуса $R$, а $I$ — центр вписанной радиуса $r$, то расстояние между ними равно

$$d^2 = R^2 - 2Rr .$$

Формула замечательна тем, что связывает три величины, которые ниоткуда не обязаны быть связанными. А ещё из неё немедленно следует неравенство Эйлера: раз $d^2\geqslant 0$, то

$$R \geqslant 2r,$$

причём равенство достигается ровно тогда, когда $d=0$, то есть когда центры совпадают, — а это бывает только у равностороннего треугольника.

И здесь — снова история про имя.

За девятнадцать лет до Эйлера, в 1746 году, эту формулу напечатал Уильям Чаппл — землемер из Девона, самоучка, публиковавшийся в математическом отделе английского альманаха «Miscellanea Curiosa Mathematica». Его работу не заметили: провинциальный альманах не читали на континенте, а Эйлер получил тот же результат независимо и напечатал в академическом издании.

Обычно в таких случаях говорят «формула Эйлера — Чаппла», но и это выражение встречается редко.

Почему двадцать три века не замечали

Вопрос законный: прямая Эйлера — утверждение школьного уровня, доказательство укладывается в абзац. Почему его не нашли греки?

Ответ довольно неожиданный: у Евклида нет ортоцентра. Ни в одной из тринадцати книг «Начал» точка пересечения высот не встречается — ни как объект, ни как теорема. Медианы есть, биссектрисы есть, серединные перпендикуляры есть, а троек высот нет.

Причина, вероятно, в том, что высота у греков — вспомогательная линия, инструмент для вычисления площади, а не самостоятельный объект. Никто не спрашивал, пересекаются ли три высоты, потому что незачем было проводить сразу три.

Вот и весь ответ на вопрос, почему открытие пролежало двадцать три века: никто не задал вопроса. Это, пожалуй, главное, что стоит сказать классу об этой точке.

Неравенство Эйлера

Из формулы $d^2=R^2-2Rr$ выведите, что $R\geqslant 2r$ для любого треугольника, и объясните, в каком единственном случае достигается равенство.

Затем проверьте на равностороннем треугольнике со стороной $a$: посчитайте $R$ и $r$ напрямую и убедитесь, что $R=2r$.

Ответ: $d^2\geqslant0$ даёт $R^2-2Rr\geqslant0$, то есть $R\geqslant 2r$. Равенство означает $d=0$: центры совпадают. Для равностороннего треугольника $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$, $r=\dfrac{a}{2\sqrt3}$ — отношение ровно два.

Следующая точка: Мезьер — где офицер-фортификатор придумает, как задавать тело двумя плоскими чертежами, и метод сразу засекретят.