Фейербах: окружность девяти точек

Семья

Карл Вильгельм Фейербах (1800–1834) — третий из одиннадцати детей Пауля Иоганна Ансельма фон Фейербаха, знаменитого криминалиста, автора Баварского уголовного уложения и человека, впервые сформулировавшего принцип «нет наказания без закона».

Братья вышли под стать отцу: Людвиг Фейербах — тот самый философ, о котором Маркс напишет свои одиннадцать тезисов; Ансельм — археолог; Эдуард — правовед. Карл Вильгельм был среди них математиком.

Книжка двадцатидвухлетнего

В 1822 году, двадцати двух лет от роду, он издаёт в Нюрнберге сочинение с длинным названием: «Свойства некоторых замечательных точек прямолинейного треугольника и нескольких определяемых ими линий и фигур».

Замечательные точки к тому времени уже начали накапливаться. Прямая Эйлера была найдена шестьюдесятью годами раньше. А в 1821 году в «Annales» Жергонна вышла статья Понселе и Брианшона, где описана окружность, проходящая через шесть особых точек треугольника.

Девять точек

Через середины трёх сторон, основания трёх высот и середины трёх отрезков от вершин до ортоцентра проходит одна окружность.

Девять точек, определённых тремя разными способами, — на одной окружности.

Мало того, окружность эта устроена просто. Её центр лежит на прямой Эйлера, ровно посередине между центром описанной окружности $O$ и ортоцентром $H$. Радиус её равен $R/2$.

Причина видна сразу, если посмотреть на гомотетию: сожмите всю картинку вдвое к точке $H$. Описанная окружность перейдёт в окружность вдвое меньшего радиуса с центром в середине $OH$, а вершины $A$, $B$, $C$ — в середины отрезков $HA$, $HB$, $HC$. Это уже три из девяти точек; остальные шесть попадают туда же.

Что доказал именно он

Шесть точек из девяти были у Понселе и Брианшона годом раньше, и в разное время части этого утверждения находили и другие — например, англичанин Бенджамин Бевен ещё в 1804 году.

Фейербах доказал не это. Он доказал вот что:

Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается вписанной окружности треугольника и всех трёх вневписанных.

Четыре касания, ни одного лишнего пересечения. Точку касания с вписанной окружностью так и называют — точка Фейербаха.

Утверждение это несопоставимо сильнее, и потому имя в немецкой традиции досталось ему: Feuerbachkreis. Французы говорят «окружность девяти точек», англичане — nine-point circle, и каждый по-своему прав.

Тюрьма и меч

Дальше начинается то, из-за чего эту биографию помнят.

В 1824 году Фейербаха арестовали вместе с товарищами по студенческому обществу — власти Баварии видели в таких обществах политическую угрозу. Он просидел в мюнхенской тюрьме больше года. По рассказам современников, там он пытался покончить с собой, вскрыв вены, и грозил выброситься из окна, если не отпустят остальных.

Его выпустили, но здоровье и рассудок были сломаны. Он преподавал в эрлангенской гимназии — и однажды, как рассказывают, пришёл в класс с обнажённым мечом и объявил, что отрубит голову каждому, кто не решит задачу, написанную на доске.

От преподавания его отстранили. Последние годы он не выходил из дома, отпустил волосы и бороду и никого не принимал. Умер в 1834 году, тридцати четырёх лет.

Двенадцать лет между книжкой и смертью — и за всю жизнь он успел напечатать ещё одну работу. В ней, между прочим, независимо от Мёбиуса появляются однородные координаты — то, на чём будет стоять вся проективная геометрия.

Центр и радиус

Докажите, что окружность девяти точек — образ описанной окружности при гомотетии с центром в ортоцентре $H$ и коэффициентом $\tfrac12$.

Выведите отсюда, что её радиус равен $R/2$, а центр — середина отрезка $OH$.

Указание: при такой гомотетии вершина $A$ переходит в середину отрезка $HA$ — это одна из девяти точек. Центр $O$ переходит в середину $OH$, а радиус уменьшается вдвое. Остаётся проверить, что середины сторон и основания высот тоже лежат на полученной окружности.

Следующая точка: Берлин — где кафедру создадут специально для человека, который до четырнадцати лет не умел читать.