Чебышёв: первые строгие оценки

Что было известно до

Гипотеза о том, что $\pi(x)\sim x/\ln x$, высказывалась Гауссом (1792, не опубликовано) и ЛежандромАдриен Мари Лежандрфранцузский математик · 1752–1833Первым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс. (1798, в форме $x/(\ln x - 1{,}08366)$). Но это были наблюдения над таблицами. Ни одной строгой оценки не существовало — ни сверху, ни снизу.

Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894) в двух мемуарах, поданных Петербургской академии в 1848 и 1850 годах, впервые получает результаты, а не наблюдения.

Результат первый: постулат Бертрана

Теорема. Для всякого $n\geqslant1$ между $n$ и $2n$ есть простое число.

Жозеф Бертран высказал это в 1845 году, проверив до $3\,000\,000$. Чебышёв доказал в 1850-м. Формулировка настолько простая, что её проходят в математических кружках, а доказательство — вполне школьное по средствам, хотя и хитрое; наиболее известный вариант принадлежит девятнадцатилетнему ЭрдёшуПал Эрдёшвенгерский математик · 1913–1996Полторы тысячи статей, пятьсот соавторов, ни дома, ни семьи, ни постоянной работы — сорок лет он ездил из университета в университет с одним чемоданом. (1932) и является упрощением чебышёвского.

Идея доказательства. Всё держится на центральном биномиальном коэффициенте $C_{2n}^{n}$, зажатом с двух сторон:

$$\frac{4^{n}}{2n+1}\;\leqslant\;C_{2n}^{n}\;\leqslant\;4^{n}.$$

С другой стороны, $C_{2n}^{n}$ раскладывается на простые множители, и каждый простой $p$ входит в него в степени не выше $\log_p 2n$; а простые из промежутка $(\tfrac23 n,\,n)$ в него не входят вовсе (они дважды входят в $n!^{2}$ и дважды в $(2n)!$). Предположив, что простых между $n$ и $2n$ нет, получаем для $C_{2n}^{n}$ оценку сверху, противоречащую оценке снизу при больших $n$; малые проверяются вручную.

Вспомогательная лемма, полезная сама по себе:

$$\prod_{p\leqslant n}p\;<\;4^{n},$$

то есть произведение всех простых, не превосходящих $n$, растёт не быстрее геометрической прогрессии.

Результат второй: границы для $\pi(x)$

Теорема Чебышёва. При достаточно больших $x$
$$0{,}92129\cdot\frac{x}{\ln x}\;<\;\pi(x)\;<\;1{,}10555\cdot\frac{x}{\ln x}.$$

Константы не случайны: они получаются из числа $\dfrac{2^{1/2}3^{1/3}5^{1/5}}{30^{1/30}}$ и обратной к нему величины — след того же биномиального рассуждения, но проведённого тоньше.

И ещё один результат, важный методологически:

Если предел $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x}$ существует, то он равен 1.

То есть Чебышёв доказал: если асимптотика есть, то именно та. Само существование предела — это и есть теорема о распределении простых чисел, и её докажут через сорок с лишним лет.

Тогда же Чебышёв ввёл функции, которыми пользуются до сих пор:

$$\vartheta(x)=\sum_{p\leqslant x}\ln p,\qquad \psi(x)=\sum_{p^{k}\leqslant x}\ln p .$$

Работать с ними удобнее, чем с $\pi(x)$: логарифмические веса сглаживают скачки, и теорема о распределении простых равносильна простому утверждению $\psi(x)\sim x$.

Кто это доказал и что было дальше

Доказательство асимптотики получили в 1896 году независимо и почти одновременно Жак АдамарЖак Адамарфранцузский математик · 1865–1963Доказал теорему о распределении простых чисел — одновременно и независимо с Валле-Пуссеном, без единого слова спора о приоритете. Прожил девяносто семь лет и написал книгу о том, как математики думают. в Бордо и Шарль-Жан де ла Валле-ПуссенШарль Жан де ла Валле-Пуссенбельгийский математик · 1866–1962Доказал теорему о распределении простых чисел одновременно с Адамаром и независимо от него, а через три года первым получил оценку остаточного члена — то есть не только «сколько», но и «с какой точностью». в Лувене. Оба опирались на теорию целых функций (её сам Адамар и построил несколькими годами раньше — ради этой задачи) и на работу фон Мангольдта 1894 года, упростившую стратегию Римана. Ключевой технический шаг — доказательство того, что $\zeta(s)\ne0$ на прямой $\mathrm{Re}\,s=1$.

Отдельного упоминания заслуживает то, чего в этой линии почти не бывает: приоритетного спора не возникло вовсе. Оба автора признали работу друг друга, Валле-Пуссен в 1899 году улучшил оценку остатка, и на этом всё. На фоне истории Сельберга и Эрдёша полувеком позже контраст особенно заметен.

Петербургская школа

С этой точки на карте начинается традиция, которую принято называть петербургской математической школой. Чебышёв воспитал МарковаАндрей Андреевич Марковрусский математик · 1856–1922Придумал цепи зависимых событий, чтобы выиграть спор о том, обязательна ли независимость для закона больших чисел, — и проверил их на буквах «Евгения Онегина»., ЛяпуноваАлександр Михайлович Ляпуноврусский математик и механик · 1857–1918Дал точное определение устойчивости движения и способ её проверять без решения уравнений; он же первым строго доказал центральную предельную теорему., Коркина, Золотарёва, Вороного, Граве; через них линия идёт в теорию вероятностей, в теорию приближений (полиномы Чебышёва — прямое следствие его работы над механизмами) и, уже в советское время, в ленинградскую школу теории чисел — Линника и Матиясевича.

Характерная черта школы, отличавшая её от немецкой: интерес к явным оценкам с константами, а не к существованию пределов. Чебышёв не любил чистого существования; он хотел числа. Эта установка объясняет и вид его теоремы — не «предел равен 1», а «зажато между 0,92 и 1,11».

Задача. Пользуясь неравенством $\prod_{p\leqslant n}p<4^{n}$, докажите, что $\pi(n)=O\!\left(\dfrac{n}{\ln n}\right)$.
(Указание: все простые из промежутка $(\sqrt n, n]$ больше $\sqrt n$, значит их произведение больше $(\sqrt n)^{\pi(n)-\pi(\sqrt n)}$. Логарифмируя, получаем $(\pi(n)-\pi(\sqrt n))\cdot\frac12\ln n<n\ln 4$.)

Следующая точка: Берлин — где восемь страниц свяжут простые числа с нулями функции комплексного переменного и поставят задачу, не решённую до сих пор.