Россия · «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов», 1854
Многочлен, наименее уклоняющийся от нуля
Условие
Среди всех многочленов $x^2+bx+c$ найти тот, у которого наибольшее по модулю значение на отрезке $[-1;1]$ наименьшее. Чему равно это наименьшее уклонение? А для многочленов вида $x^3+bx^2+cx+d$?
Показать ответ
$x^2-\frac12$ с уклонением $\frac12$; $x^3-\frac34x$ с уклонением $\frac14$; вообще $\frac{1}{2^{n-1}}$
О чём эта задача
Задача пришла из механики: Чебышёв искал шарнирный механизм, превращающий вращение в возможно более прямое движение поршня, — и получил общий вопрос о наилучшем приближении. Ответ узнаётся по признаку, который стоит показать: у наилучшего многочлена наибольшее уклонение достигается несколько раз подряд с чередованием знака. У $x^2-\frac12$ это три точки: $-1$, $0$, $1$ со значениями $+\frac12$, $-\frac12$, $+\frac12$. Стоит попросить класс подобрать что-нибудь лучше — не выйдет, и это убедительнее доказательства.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.