Россия · «Mémoire sur les nombres premiers», 1850
Вилка для числа простых
Условие
Чебышёв доказал, что при достаточно больших $x$ число простых $\pi(x)$ заключено между $0{,}921\cdot\frac{x}{\ln x}$ и $1{,}106\cdot\frac{x}{\ln x}$. Проверить вилку на $x=10^6$, зная, что $\pi(10^6)=78\,498$. Работает ли она уже при $x=1000$, где $\pi(1000)=168$?
Показать ответ
на миллионе да: $66\,664<78\,498<80\,054$. На тысяче нет — верхняя граница даёт 160, а простых 168
О чём эта задача
Слова «при достаточно больших» здесь не оговорка, а часть утверждения, и полезно показать классу, что на тысяче вилка ещё промахивается. Чебышёв заодно доказал: если отношение $\pi(x)$ к $\frac{x}{\ln x}$ вообще имеет предел, то этот предел равен единице. Доказать, что предел существует, он не смог — это сделали Адамар и Валле-Пуссен через сорок шесть лет, порознь и в один год. До Чебышёва о распределении простых были только догадки Лежандра и Гаусса, проверенные по таблицам.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.