Карта → событие
Эли Картан: связность
Человек
Эли Жозеф Картан (1869–1951) — сын деревенского кузнеца из Доломьё в Изере. В сельской школе его заметил инспектор Антонен Дюбо, добился стипендии и довёл до Высшей нормальной школы; иначе он остался бы кузнецом.
Диссертация 1894 года — строгая переработка классификации простых алгебр Ли, найденной Киллингом: Картан устранил пробелы, построил все исключительные алгебры явно и вычислил их представления.
Дальше — двадцать лет работы в провинции (Монпелье, Лион, Нанси) и только с 1912 года Париж.
Его почти не читали. Работы Картана считались непроницаемыми: он писал сжато, на собственном языке дифференциальных форм, почти без мотивировок и совсем без иллюстраций. Герман ВейльГерман ВейльСоединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения., сам не последний человек, признавался, что находит их трудными. Широкое признание пришло к нему после семидесяти. Сын, Анри Картан, стал одним из основателей Бурбаки.
Метод подвижного репера
Идея, объясняющая всё остальное.
Стандартный подход (Гаусс, Риман, Риччи): выбрать координаты и выписать компоненты тензоров. Формулы получаются громоздкими, и большая часть работы уходит на пересчёт при замене координат.
Подход Картана: координат не выбирать вовсе. Вместо этого прикрепить к каждой точке репер — набор базисных векторов — и следить, как репер поворачивается при переходе к соседней точке. Аппарат — внешнее исчисление дифференциальных форм, которое Картан построил, опираясь на внешнее произведение Грассмана. Формы хороши тем, что записываются одинаково в любых координатах.
Структурные уравнения Картана:
$$d\omega^{i}=-\omega^{i}_{\ j}\wedge\omega^{j}+\Theta^{i}, \qquad\qquad d\omega^{i}_{\ j}=-\omega^{i}_{\ k}\wedge\omega^{k}_{\ j}+\Omega^{i}_{\ j}.$$
Здесь $\omega^{i}$ — базисные 1-формы, $\omega^{i}_{\ j}$ — форма связности (описывает поворот репера), $\Theta^{i}$ — кручение, $\Omega^{i}_{\ j}$ — кривизна.
Смысл второго уравнения: кривизна есть препятствие к тому, чтобы связность была плоской, то есть мера некоммутативности переноса вдоль разных путей. Риччи выражает то же самое через ковариантные производные,
$$\left[\nabla_{\mu},\nabla_{\nu}\right]V^{\rho}=R^{\rho}_{\ \sigma\mu\nu}V^{\sigma},$$
но формулировка Картана короче и — что важнее — не зависит от того, идёт ли речь о касательных векторах или о чём-то другом. Именно эта нейтральность и позволит применить её к полям, никакого отношения к пространству-времени не имеющим.
Кручение
Величина $\Theta^{i}$ — открытие Картана (1922). У РиманаБернхард РиманПрожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. и Леви-Чивиты её нет: они рассматривали только симметричные связности, где кручение обращается в нуль.
Наглядно. Перенесите вектор $u$ вдоль $v$, затем вектор $v$ вдоль $u$. При нулевом кручении получившиеся точки совпадут — «параллелограмм замкнётся». Кручение измеряет, насколько он не замыкается.
$$\textbf{кривизна поворачивает вектор};\qquad \textbf{кручение сдвигает точку}.$$
Это разные вещи, и их разделение — заслуга Картана. Из него выросла теория ЭйнштейнаАльберт ЭйнштейнЕдинственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет. — Картана (1922–1925): обобщение общей теории относительности, где кручение связано со спином материи. Экспериментально от обычной ОТО она пока неотличима — эффекты возникают при плотностях, недостижимых в лаборатории, — но остаётся живой альтернативой.
Примирение КлейнаФеликс КлейнОбъяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. и Римана
Теперь то, ради чего Эрлангенская программа на Картана ссылается.
Клейн: геометрия — это пространство с группой преобразований; предмет составляет то, что инвариантно относительно группы. Пространство при этом однородно: все точки равноправны.
Риман: геометрия — это метрика, заданная в каждой точке и меняющаяся от точки к точке; глобальных симметрий может не быть вообще, и точки не равноправны.
Взгляды выглядят несовместимыми. Ход Картана (1923–1926): взять клейновскую геометрию, прикреплённую к каждой точке многообразия — то есть касательное пространство со своей группой, — и добавить правило, как эти геометрии в соседних точках сопоставляются друг с другом. Это правило и есть связность Картана.
- группа движений евклидова пространства → риманова геометрия;
- группа Лоренца → геометрия общей теории относительности;
- многообразие однородно, связность плоская → ровно геометрия Клейна.
Программа Эрлангена оказалась частным случаем. Геометрия — это однородное пространство, размазанное по многообразию; а всё содержание — в том, как оно склеено.
Спиноры за пятнадцать лет до ДиракаПоль ДиракНаписал уравнение, из которого следовало существование античастиц, — и они нашлись. Ввёл дельта-функцию, которую математики двадцать лет считали недопустимой, а потом узаконили.
В 1913 году, классифицируя линейные представления простых алгебр Ли, Картан обнаружил у ортогональных алгебр представления, не поднимающиеся до представлений группы вращений — только до её двулистного накрытия. Он описал соответствующие объекты и их свойства. Никакого физического смысла у них тогда не было.
В 1928 году Дирак, выводя релятивистское уравнение электрона, обнаружил, что волновая функция обязана быть четырёхкомпонентным объектом, преобразующимся именно так. Он строил это заново, о работе Картана не зная.
Свойство, из-за которого спинор при повороте на $360^\circ$ меняет знак и требует $720^\circ$ для возвращения, — то самое, что в линии алгебры объясняется двулистностью накрытия $SU(2)\to SO(3)$ (кватернионы Гамильтона).
Это, пожалуй, самый чистый пример третьей оговорки, с которой начинается вводная к этой линии: объект найден при переборе математических возможностей, безо всякой физической мотивировки, — и через пятнадцать лет оказался устройством электрона.
Симметрические пространства
1926. Картан полностью классифицирует римановы симметрические пространства — многообразия, в каждой точке которых существует изометрия, обращающая все геодезические через эту точку.
Список конечен и в точности повторяет структуру классификации простых алгебр Ли: несколько бесконечных серий плюс исключительные случаи. Сферы, пространства ЛобачевскогоНиколай Иванович ЛобачевскийПервым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица., проективные пространства, грассманианы — всё это симметрические пространства. Классификация оказалась нужна везде: от теории представлений до космологических моделей и теории случайных матриц.
Достройка: Эресман
Современный вид теории придал ученик Картана Шарль Эресман (1950): главное расслоение со структурной группой, связность как форма на расслоении, кривизна как её внешний дифференциал.
Именно в этих терминах написан «словарь» из точки о Янге и Миллсе:
| Геометрия (Картан — Эресман) | Физика (Вейль, ЯнгЧжэньнин ЯнгНаписал уравнение, за которое получил Нобелевскую премию не по той работе, а математики двадцать лет спустя обнаружили, что это давно известная им геометрия. — МиллсРоберт МиллсМолодой сотрудник, деливший кабинет с Янгом в Брукхейвене, соавтор уравнений, которые оказались чистой геометрией расслоений и стали основой всей физики частиц.) |
|---|---|
| главное расслоение со структурной группой $G$ | калибровочная теория с группой $G$ |
| связность | калибровочное поле $A_{\mu}$ |
| кривизна связности | напряжённость поля $F_{\mu\nu}$ |
| параллельный перенос | фазовый множитель вдоль пути |
| голономия | фаза при обходе контура |
Левая колонка написана Картаном в 1920-е, правая — Янгом и Миллсом в 1954-м, и двадцать лет никто не заметил, что это одна таблица.
Задача. Убедитесь, что кручение и кривизна независимы. (Указание: на плоскости с обычной евклидовой метрикой введите связность, у которой $\Gamma^{i}_{jk}$ антисимметричны по нижним индексам и постоянны. Проверьте, что кривизна равна нулю, а кручение — нет: параллельный перенос не поворачивает векторы, но параллелограмм всё равно не замыкается.)
Следующая точка: Принстон — где кривизну научатся превращать в целые числа.