Вейль: первая калибровочная теория

Логика хода

Эйнштейн отказался от абсолютного направления: при параллельном переносе вектор поворачивается, и то, насколько он повернулся, зависит от пути. Мерой этого служит кривизна.

Герман Вейль (1885–1955), профессор Цюрихского политехникума, в 1918 году задаёт естественный вопрос: а почему абсолютной остаётся длина? Пусть при переносе меняется и она.

Формально: помимо метрики вводится дополнительная 1-форма $A_{\mu}$, задающая относительное изменение масштаба при сдвиге:

$$\frac{\delta\ell}{\ell}=A_{\mu}\,dx^{\mu}.$$

Немецкое слово для «эталона, калибра» — Eichmaß; отсюда Eichinvarianz, калибровочная инвариантность: инвариантность относительно произвольного выбора эталона длины в каждой точке. Выбор эталона меняет $A_\mu$ на градиент произвольной функции:

$$A_{\mu}\;\longrightarrow\;A_{\mu}+\partial_{\mu}\lambda .$$

А вот величина

$$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$

при таком преобразовании не меняется — и совпадает по форме с тензором электромагнитного поля. Уравнения Максвелла получаются как геометрическое тождество.

Красота предложения в том, что гравитация и электромагнетизм оказываются двумя частями одной геометрии: одна отвечает за поворот при переносе, другая — за растяжение.

Возражение ЭйнштейнаАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет.

Эйнштейн, представлявший работу в Прусскую академию, приложил к публикации собственную критическую приписку — случай в академической практике редкий.

Аргумент физический и убийственный. Если масштаб зависит от пройденного пути, то два одинаковых атома, разнесённые по разным траекториям и вновь сведённые вместе, имели бы разные размеры и, значит, разные спектральные линии. Наблюдения ничего подобного не показывают: спектр водорода одинаков здесь и в далёкой галактике, независимо от истории атома.

Вейль возражал несколько лет, но аргумент устоял. Теория 1918 года неверна как физика.

Развязка 1929 года

Возвращение к идее произошло, когда появилась квантовая механика.

В работе «Elektron und Gravitation» (1929) Вейль заменяет вещественный масштабный множитель на комплексную фазу: волновая функция преобразуется как

$$\psi(x)\;\longrightarrow\;e^{i\theta(x)}\psi(x),$$

а потенциал — по-прежнему как $A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\theta$. Возражение Эйнштейна снимается автоматически: фаза волновой функции ненаблюдаема, наблюдаем только $|\psi|^{2}$. И получается современная калибровочная теория электромагнетизма с группой $U(1)$ — то есть окружностью.

Ковариантная производная приобретает вид

$$D_{\mu}=\partial_{\mu}-ieA_{\mu},$$

и электромагнитное взаимодействие оказывается не постулатом, а следствием требования локальной фазовой симметрии. Это тот самый ход, который через двадцать пять лет повторят Янг и Миллс, заменив окружность на $SU(2)$.

Название осталось прежним, хотя ничего уже не «калибруется». Термин «калибровочная теория» — окаменевший след неудачной гипотезы 1918 года; это, пожалуй, самый известный в физике случай, когда прижилось имя от опровергнутой теории.

В той же работе 1929 года Вейль вводит тетрады (репер в каждой точке — приём, идущий от Картана) и двухкомпонентные спиноры, носящие теперь его имя: они описывают безмассовые частицы с определённой спиральностью и понадобились через тридцать лет, когда выяснилось, что слабое взаимодействие различает левое и правое.

Что ещё сделал Вейль для этой линии

Он вообще один из самых недооценённых на карте людей, и стоит перечислить хотя бы главное.

• «Die Idee der Riemannschen Fläche» (1913) — первое строгое определение многообразия: покрытие картами с согласованными переходами. То, что Риман описал словами, Вейль превратил в определение, которым пользуются до сих пор.
• «Raum, Zeit, Materie» (1918) — первый систематический учебник общей теории относительности, по которому её учило целое поколение.
• Классификация представлений компактных групп Ли (1925–26): формула характеров Вейля, теорема о полной приводимости. Без неё нет ни теории частиц, ни современной алгебры.
• «Symmetrie» (1952) — книга, из которой большинство образованных людей узнаёт, что такое группа симметрий.

Судьба его сложилась так: в 1930 году он занял в Гёттингене кафедру ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., а в 1933-м уехал в Принстон — жена была еврейкой, и оставаться было нельзя. Гёттингенская математическая школа кончилась в тот же год.

Следующая точка: Париж — где в те же годы построят общий аппарат, частным случаем которого окажется и эта конструкция, и общая теория относительности.