Карта → событие
Фаддеев: квантовый метод обратной задачи
Эстафета
У этой точки нет одной эффектной теоремы. У неё есть другое: она — предпоследний этап эстафеты, которая шла сорок лет, начиналась в чистом анализе, ушла в физику, вернулась в алгебру и в конце концов дала объект, за который в 1990 году вручили Филдсовскую медаль.
Эстафету стоит выписать целиком, потому что каждый её этап отдельно понятен, а вместе они образуют один из самых причудливых маршрутов на этой карте.
1951, Москва. ГельфандИзраиль Моисеевич ГельфандНе окончил школы и университета, стал одним из главных математиков века и полвека вёл семинар, который для Москвы был отдельным учебным заведением. и Левитан решают обратную задачу рассеяния для уравнения ШтурмаЖак Шарль Франсуа ШтурмПервым измерил скорость звука в воде — ударом в подводный колокол на Женевском озере, — а потом вместе с Лиувиллем обнаружил, что у колеблющейся струны решения существуют лишь при избранных значениях. Гильберт… — ЛиувилляЖозеф ЛиувилльПервым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их.: по тому, как волна рассеивается на неизвестном потенциале, восстановить сам потенциал. Прямая задача — «дан потенциал, найти рассеяние» — обычная физика; обратная — «дано рассеяние, найти потенциал» — это уже про то, как устроено зрение и слух: мы всегда наблюдаем рассеянное, а хотим знать рассеиватель. Независимо тем же занимался Марченко в Харькове.
1960, Ленинград. Молодой Фаддеев решает квантовую задачу трёх тел — уравнения Фаддеева до сих пор стоят в основании ядерной физики малых систем.
1967, Принстон. Гарднер, Грин, Крускал и Миура делают ход, которого никто не ждал: они решают нелинейное уравнение Кортевега — де Фриза (уравнение волн на мелкой воде, знаменитое своими солитонами) — при помощи обратной задачи рассеяния. Схема такая: сопоставить нелинейному уравнению линейную спектральную задачу, заметить, что при эволюции спектр не меняется, а меняются только простые характеристики, и восстановить решение обратно. Нелинейное уравнение оказалось линейным в правильных координатах.
1971–1974, Ленинград. Захаров и Шабат превращают это в метод: нелинейное уравнение решается, если его удаётся записать как условие совместности пары линейных задач (представление Лакса). Фаддеев и Тахтаджян строят гамильтонову теорию: солитоны — это переменные действие — угол, интегрируемая система в точном смысле Лиувилля.
1978–1979, Ленинград. Остаётся последний шаг: проквантовать всё это.
Что такое квантовать интегрируемую систему
Классическая интегрируемая система хороша тем, что у неё много сохраняющихся величин — столько же, сколько степеней свободы. Квантовый аналог — модель, у которой много коммутирующих операторов-интегралов, и потому её спектр можно найти точно, а не приближённо.
Такие модели известны с 1931 года: Ганс Бете решил цепочку Гейзенберга
$$H=-J\sum_{n}\vec S_{n}\cdot\vec S_{n+1}$$
подстановкой, которую с тех пор называют анзацем Бете: собственная функция ищется в виде комбинации плоских волн с подобранными коэффициентами. Метод работал, но выглядел как угаданный: почему такая подстановка проходит, объяснить было нельзя, и на каждую новую модель угадывать приходилось заново.
Работа ленинградской школы состояла в том, чтобы убрать угадывание.
Л. Д. Фаддеев, Е. К. Склянин, Л. А. Тахтаджян. Квантовый метод обратной задачи. Теоретическая и математическая физика, 1979.
Вместо волновых функций вводятся операторы рождения: собственное состояние строится применением операторов $B(\lambda)$ к простейшему «пустому» состоянию. Так анзац Бете становится алгебраическим — отсюда название алгебраический анзац Бете.
Уравнение, которое всё держит
Работает эта конструкция благодаря одному соотношению. Собираем операторы модели в матрицу монодромии $T(\lambda)$; тогда все нужные коммутационные соотношения записываются одной формулой:
$$R_{12}(\lambda-\mu)\,T_{1}(\lambda)\,T_{2}(\mu)=T_{2}(\mu)\,T_{1}(\lambda)\,R_{12}(\lambda-\mu),$$
где $R$ — числовая матрица, а сама она обязана удовлетворять уравнению Янга — Бакстера
$$R_{12}R_{13}R_{23}=R_{23}R_{13}R_{12}.$$
Это соотношение пришло из физики дважды и независимо: ЯнгЧжэньнин ЯнгНаписал уравнение, за которое получил Нобелевскую премию не по той работе, а математики двадцать лет спустя обнаружили, что это давно известная им геометрия. (1967) получил его для одномерного газа с точечным взаимодействием, Бакстер (1972) — для восьмивершинной модели статистической механики. Смысл у него простой: при последовательных парных рассеяниях результат не зависит от порядка, в котором рассеяния произошли.
Формула $RTT=TTR$ и есть тот предмет, который через несколько лет опознают как алгебру. Из неё следует, что операторы $B(\lambda)$ при разных $\lambda$ переставляются известным образом, и вся спектральная задача превращается в систему алгебраических уравнений на параметры — уравнения Бете.
Практическая цена метода: одним приёмом решаются цепочка Гейзенберга во всех вариантах, модель синус-Гордона, шестивершинная и восьмивершинная модели, модель Хаббарда и десятки других. Угадывание кончилось.
Что увидели за этим
К началу 1980-х ленинградцы располагали набором алгебр, заданных соотношением $RTT=TTR$, — и это были не абстракции, а рабочие инструменты, каждый со своей физической моделью.
Оставался вопрос, на который сами физики не отвечали: что это за алгебры? Соотношения выглядят так, будто описывают симметрию, но группы, симметрией которой они были бы, не видно.
Ответ дали ДринфельдВладимир ДринфельдПридумал квантовые группы — деформацию алгебры, из которой инварианты узлов получаются пачками; шестнадцати лет выступал на международном конгрессе, в тридцать шесть получил Филдсовскую медаль. и, независимо, Мичио Джимбо (1985): это алгебры ХопфаХайнц ХопфПостроил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор. — деформации универсальных обёртывающих алгебр Ли, то есть «группы», у которых нет точек. Дринфельд же дал им имя, под которым они известны, и включил в общую программу; за это последовала Филдсовская медаль 1990 года.
Об этом — следующая точка. Здесь важно зафиксировать распределение ролей, потому что оно нетипично: объекты появились раньше, чем их понятие. Ленинградская школа работала с квантовыми группами семь лет, не зная, что это квантовые группы; Дринфельд не изобретал их, а опознал.
Такое в математике случается регулярно, но здесь случай особенно чистый: физика подала алгебре готовый класс объектов и уравнение, которому те подчиняются, а алгебра нашла им место в своей системе понятий и вернула физике теорию представлений в придачу.
Человек
Людвиг Дмитриевич Фаддеев (1934–2017) — сын математика Д. К. Фаддеева, автора известного курса линейной алгебры, так что в математику он входил, что называется, из дому.
Помимо всего сказанного, его имя стоит в двух местах, которые знает всякий физик. Уравнения Фаддеева (1960) — точная постановка квантовой задачи трёх тел. И духи Фаддеева — Попова (1967, с Виктором Поповым): вспомогательные поля, без которых нельзя корректно проквантовать калибровочную теорию. Эта работа лежит в основании Стандартной модели, а на карте она смотрит в другую линию — к точке о Янге и Миллсе в геометрии.
Он возглавлял Ленинградское отделение Математического института имени Стеклова, создал школу, из которой вышли Склянин, Тахтаджян, Решетихин, Кулиш, Смирнов, Семёнов-Тян-Шанский. Николай Решетихин, ученик этой школы, позже вместе с Тураевым построит из квантовых групп инварианты трёхмерных многообразий — то есть эстафета вернётся к его же ученикам.
В 1987–1990 годах Фаддеев был президентом Международного математического союза — редкий случай, когда эту должность занимал человек, всю жизнь работавший на границе с физикой.
Следующая точка: Харьков — некоммутативность, доведённая до логического предела.