Саймон Дональдсон

В аспирантуре Дональдсон сделал работу, о которой обычно говорят, что она открыла новую область. Точнее сказать иначе: он перенёс инструмент из физики в топологию, и инструмент оказался острее всего, что там было.

Уравнения из другой науки

Уравнения Янга — Миллса описывают калибровочные поля — то, из чего сделаны сильные и слабые взаимодействия. С точки зрения геометрии это уравнения на связность в расслоении, и решения с наименьшим действием называются инстантонами.

Дональдсон в 1982 году поступил неожиданно: рассмотрел пространство всех инстантонов на четырёхмерном многообразии — и стал изучать не сами решения, а форму этого пространства. Оно оказалось многообразием с краем, причём край — это исходное многообразие. Отсюда, разбирая, как устроены особенности, он получил жёсткое ограничение на форму пересечений — целочисленную квадратичную форму, которую несёт всякое четырёхмерное многообразие.

Теорема Дональдсона. Если гладкое односвязное замкнутое четырёхмерное многообразие имеет положительно определённую форму пересечений, то эта форма диагональна.

Экзотические ℝ⁴

Смысл теоремы виден в сопоставлении с чужим результатом. Годом раньше Майкл Фридман закрыл топологическую сторону вопроса: для односвязных замкнутых четырёхмерных многообразий форма пересечений определяет многообразие однозначно, и каждая унимодулярная форма реализуется.

Сложим два утверждения. Фридман: любая форма реализуется топологическим многообразием. Дональдсон: почти никакая не реализуется гладким. Значит, существуют четырёхмерные многообразия, у которых гладкой структуры нет вовсе, — и, что удивительнее, существуют разные гладкие структуры на одном топологическом многообразии.

Крайний случай — обычное пространство $\mathbb{R}^{4}$. На $\mathbb{R}^{n}$ гладкая структура единственна при всех $n$, кроме четырёх. При $n=4$ их континуум. Почему выделена именно та размерность, в которой мы живём, никакого содержательного объяснения нет; в четырёх измерениях трюк Уитни не работает, и это всё, что можно сказать.

Филдсовская медаль 1986 года — обоим, и Дональдсону, и Фридману.

Дальше

Инварианты Дональдсона считались тяжело. В 1988 году Виттен объяснил их квантовой теорией поля, а в 1994-м вместе с Зайбергом предложил уравнения, дающие ту же информацию несравненно дешевле: доказательства, занимавшие десятки страниц, стали умещаться в одну-две.

Сам Дональдсон ушёл дальше — в комплексную и симплектическую геометрию: теория Дональдсона — Уленбек — Яу о связи устойчивости расслоений с существованием эрмитовых метрик Янга — Миллса, гипотеза Яу — Тиана — Дональдсона о метриках Кэлера — Эйнштейна, доказанная им с соавторами в 2012 году.

Работал в Оксфорде, потом в Имперском колледже в Лондоне, сейчас в Стоуни-Брук. Премия Вольфа 2020 года.