Пуанкаре: «Analysis Situs»

Откуда он пришёл

Не из интереса к формам, а из небесной механики.

В 1889 году Пуанкаре получил премию короля Швеции Оскара II за работу о задаче трёх тел — и уже после присуждения, готовя текст к печати, обнаружил в нём ошибку. Историю стоит рассказывать целиком: он остановил рассылку, оплатил уничтожение тиража и перепечатку из собственных средств, потратив больше, чем составляла премия. Переработанная версия (1890) содержала то, чего в первой не было: описание гомоклинического сплетения — картины, которую сегодня называют динамическим хаосом. «Поражает сложность этой фигуры, которую я даже не пытаюсь нарисовать», — написал он.

Урок, который он вынес: в динамике точные решения недостижимы, и надо уметь говорить о качественном поведении траекторий — сколько их, как они устроены, что с ними станет при малом изменении системы. Для этого нужна наука о том, что сохраняется при непрерывной деформации.

Предыстория

Разрозненные наблюдения были и раньше.

• Эйлер: семь мостов (1736) и $V-E+F=2$ (1750).
• ГауссКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. (1833): коэффициент зацепления двух замкнутых кривых, заданный интегралом; интерес к «геометрии положения».
• ЛистингИоганн Бенедикт Листингнемецкий математик и физик · 1808–1882Придумал слово «топология» за полвека до того, как дисциплина обзавелась содержанием, и открыл одностороннюю поверхность на несколько месяцев раньше Мёбиуса. Имя закрепилось не за ним ни в том, ни в другом… (1847): здесь придумано само слово «топология». Он же независимо от МёбиусаАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая… открыл одностороннюю поверхность — оба в 1858-м, Листинг несколькими месяцами раньше, но опубликовал позже, и лента носит имя Мёбиуса.
• Риман (1851–57): римановы поверхности, понятие связности, род поверхности.
• БеттиЭнрико Беттиитальянский математик · 1823–1892Ввёл числа, меряющие, сколько в пространстве независимых «дыр» каждой размерности. Пуанкаре назвал их числами Бетти, и под этим именем они стоят в основании алгебраической топологии. (1871): числа связности в произвольной размерности.
• ЖорданКамиль Жорданфранцузский математик, инженер путей сообщения · 1838–1922Написал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным. (1887): теорема о кривой.

Это набор фактов. Дисциплины нет.

«Analysis Situs», Journal de l'École Polytechnique, 1895 — около 120 страниц. Затем пять дополнений (Compléments), 1899–1904, ещё около 180 страниц.

Что построено

1. Фундаментальная группа $\pi_{1}$ — введена в первой же работе, Пуанкаре называет её groupe fondamental.

Зафиксируем точку $x_{0}$ и рассмотрим петли, из неё выходящие и в неё возвращающиеся. Две петли считаем одинаковыми, если одну можно непрерывно продеформировать в другую, не отрывая концов. Операция — прохождение петель подряд.

$$\pi_{1}\left(S^{2}\right)=\{e\}, \qquad \pi_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb{Z}, \qquad \pi_{1}\left(\text{тор}\right)=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.$$

Для окружности инвариант — число оборотов, со знаком. Для тора петля вокруг «дырки» и петля вдоль «трубы» независимы и коммутируют. А для восьмёрки — букета двух окружностей — группа свободная с двумя образующими, то есть некоммутативная: обойти сначала левую петлю, потом правую — не то же самое, что наоборот.

Здесь важна сама конструкция: топологической фигуре сопоставлена алгебраическая структура, и вопросы о фигурах превращаются в вопросы о группах. Этот приём определит всю математику XX века.

2. Гомологии. Строятся из цепей — формальных сумм симплексов — с операцией границы $\partial$, причём $\partial\circ\partial=0$. Циклы ($\partial c=0$) по модулю границ дают группы гомологий; их ранги — числа Бетти $b_{k}$, и

$$\chi(M)=\sum_{k}(-1)^{k}b_{k}$$

— эйлерова характеристика, теперь определённая в любой размерности. То, что при $k=0,1,2$ это в точности $V-E+F$, — не совпадение, а теорема.

Что числа Бетти суть ранги групп, а не просто числа, заметит Эмми Нётер в 1925-м.

3. Двойственность Пуанкаре. Для замкнутого ориентируемого $n$-мерного многообразия

$$b_{k}=b_{n-k}.$$

Числа Бетти симметричны относительно середины. Именно на этом держится утверждение, что форма пересечений четырёхмерного многообразия унимодулярна, — а без него не существует теории Дональдсона.

Драма пятого дополнения

Самая интересная часть, и она объясняет, откуда взялась знаменитая гипотеза.

Первая догадка (дополнение 1900 года): если у замкнутого трёхмерного многообразия те же гомологии, что у сферы, то это сфера.

В пятом дополнении (1904) он сам её опровергает. Строит сферу гомологий Пуанкаре — трёхмерное многообразие, у которого гомологии в точности как у $S^{3}$, но фундаментальная группа нетривиальна: это бинарная группа икосаэдра порядка 120.

Наглядное описание: возьмите додекаэдр и склейте противоположные грани, повернув каждую на $\pi/5$. Получится замкнутое трёхмерное многообразие, сферой не являющееся.

Почему гомологии этого не заметили? Потому что $H_{1}$ есть абелианизация $\pi_{1}$; группа порядка 120 здесь совершенна — совпадает со своим коммутантом, — и её абелианизация тривиальна. Гомологии не видят некоммутативности.

И тогда Пуанкаре ставит правильный вопрос. Пятое дополнение заканчивается фразой:

Остаётся рассмотреть случай, когда фундаментальная группа многообразия тривиальна. Но этот вопрос увёл бы нас слишком далеко.

Это и есть гипотеза Пуанкаре — вопрос, закрытый через 98 лет. Стоит отметить: он не формулировал её как гипотезу, а именно как вопрос, и сам допускал, что ответ окажется отрицательным.

Честная оговорка о строгости

Работы Пуанкаре по топологии написаны очень небрежно. Определения меняются от дополнения к дополнению; доказательства содержат пробелы; сам он несколько раз возвращался чинить предыдущее.

Строгие основания заложили следующие: Брауэр в 1910-е (теорема о неподвижной точке, инвариантность размерности, степень отображения), затем Веблен, АлександерДжеймс Александерамериканский математик · 1888–1971Построил рогатую сферу — вложение обычной сферы в пространство, устроенное так, что внешность её не односвязна, — и первый многочлен, различающий узлы., АлександровПавел Сергеевич Александровсоветский математик · 1896–1982Создал московскую топологическую школу и вместе с Урысоном — теорию компактных пространств; ввёл в обиход гомологические группы, услышав идею от Эмми Нётер. и ХопфХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор. («Topologie», 1935). Это типичная для Пуанкаре ситуация: он видел дальше всех и записывал наспех.

Тот же человек тринадцатью годами раньше

В точке о моделях уже рассказано, как Пуанкаре пришёл в 1882 году к конформным моделям плоскости ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. из теории автоморфных функций и как описал потом момент озарения — на подножке омнибуса в Кутансе.

Связь стоит проговорить: это один и тот же человек с интервалом в тринадцать лет, и оба раза геометрия возникала у него как побочный продукт совсем другой задачи — сперва теории функций, потом небесной механики. Ни разу он не садился «заниматься геометрией».

Задача. Убедитесь, что $\pi_1$ восьмёрки некоммутативна, рассуждая наглядно: обозначьте обход левой петли через $a$, правой через $b$ и объясните, почему петля $ab$ не деформируется в $ba$ без разрыва. Затем покажите, что при переходе к гомологиям различие исчезает: $H_1$ восьмёрки равно $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.