Джеймс Александер

Александер известен двумя вещами: примером, который убедил топологов, что интуиции доверять нельзя, и инвариантом, полвека остававшимся главным инструментом теории узлов.

Рогатая сфера

Теорема Жордана на плоскости: замкнутая кривая делит плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю, и каждая устроена «как положено». Утверждение выглядит очевидным, а доказывается трудно.

В пространстве есть аналог: вложенная сфера делит пространство на две части. Естественно думать, что каждая из них устроена как шар и как его дополнение, — то есть что вложение можно распрямить.

Александер в 1922 году показал, что нельзя. Его рогатая сфера строится так: у сферы вытягиваются два рога, они изгибаются навстречу и почти сцепляются; на конце каждого вырастает пара рогов поменьше, тоже почти сцепляющихся, и так до бесконечности. Предел этой конструкции — самая настоящая сфера, вложенная непрерывно и без самопересечений.

Но её внешность не односвязна: петля, продетая сквозь сцепление рогов, не стягивается. Значит, дополнение устроено не так, как дополнение обычной сферы, и распрямить вложение невозможно.

Пример этот убил целый класс «очевидных» рассуждений и заставил различать вложения непрерывные и «ручные». Заодно он показал, зачем нужна аккуратность в трёхмерной топологии, где интуиция подводит чаще всего.

Полином Александера

Второй результат — 1928 год. Каждому узлу сопоставляется многочлен, вычисляемый по диаграмме и не меняющийся при движениях Райдемайстера. Разные значения — заведомо разные узлы.

Это первый работающий инвариант узлов, и полвека он оставался главным. Слабость его была известна: он не различает узел и его зеркальное отражение (левый трилистник и правый дают один и тот же многочлен) и не отличает некоторые разные узлы друг от друга. Устранить это удалось только Вону Джонсу в 1984 году, причём совершенно с другой стороны — из операторных алгебр.

Двойственность

Специалисты числят его главным вкладом третье: двойственность Александера, связывающая гомологии подмножества сферы с гомологиями его дополнения. Утверждение обобщает теорему Жордана и лежит в основании всей теории зацеплений.

Ему же принадлежит теорема о том, что всякий узел есть замыкание косы — мост между теорией узлов и группами кос Артина, — и рогатая сфера как первый пример «дикого» вложения.

Гарвард, Принстон, молчание

Родился в 1888 году в Си-Брайте, Нью-Джерси, в семье художника. Учился в Принстоне у Освальда Веблена, работал там же и с 1933 года — в Институте перспективных исследований, одним из первых его сотрудников.

Был альпинистом; на скалах Принстона одно место называется «Ходом Александера» — говорят, он забирался к себе в кабинет через окно.

В сороковые он был человеком левых взглядов, и в годы маккартизма это стоило ему покоя: он ушёл из института, перестал появляться на людях и последние двадцать лет прожил затворником. Умер в 1971 году в Принстоне; о его смерти узнали не сразу.