Фридман: четырёхмерная гипотеза Пуанкаре

Последняя тесная размерность

Смейл в 1960 году доказал гипотезу Пуанкаре для размерностей от пяти, воспользовавшись трюком Уитни. В четвёртой размерности трюк не работает: диск, вдоль которого надо сдвигать, сам себя пересекает, и развести пересечения негде.

Двадцать лет считалось, что это непреодолимо. Майкл Фридман (род. 1951), работавший в Калифорнийском университете в Сан-Диего, нашёл обход.

Ручки Кассона. Эндрю Кассон в 1970-е предложил заменить недостающий диск бесконечной конструкцией: если диск самопересекается, «исправим» пересечение вторым диском, который тоже самопересекается, исправим третьим, и так до бесконечности. Получается объект, названный ручкой Кассона, — бесконечно ветвящаяся башня.

Кассон доказал, что такие ручки ведут себя как настоящие в широком смысле, но был ли объект в точности стандартной ручкой, оставалось неизвестным.

Фридман доказал, что да. Ручка Кассона гомеоморфна стандартной. Доказательство ведётся методами «дикой» топологии, идущими от рогатой сферы Александера и работ Бинга: бесконечная башня в пределе даёт объект, который гомеоморфизмом (но, разумеется, не диффеоморфизмом — гладкости в пределе не остаётся) приводится к стандартному виду.

Классификация

Получив недостающий инструмент, Фридман сразу описал все односвязные четырёхмерные многообразия.

Главный инвариант — форма пересечений: два двумерных цикла внутри четырёхмерного многообразия в общем положении пересекаются в конечном числе точек со знаками, и сумма знаков задаёт целочисленную симметричную унимодулярную форму на $H_2$.

Теорема Фридмана (1982). Замкнутые односвязные топологические четырёхмерные многообразия классифицируются формой пересечений и (для чётных форм) одним дополнительным инвариантом $\mathbb{Z}/2$ — инвариантом Кирби — Зибенмана. При этом всякая унимодулярная форма реализуется.

Следствие — гипотеза Пуанкаре в четвёртой размерности: если многообразие гомотопически эквивалентно $S^{4}$, его форма пересечений тривиальна, и по теореме оно гомеоморфно $S^{4}$.

Филдсовская медаль 1986 года.

Через год — ДональдсонСаймон Дональдсонбританский математик · род. 1957Взял уравнения физики калибровочных полей и доказал ими теорему чистой топологии; вместе с результатом Фридмана отсюда вышло, что четырёхмерное пространство — единственное, где гладких структур континуум.

И тут начинается самое интересное.

Из теоремы Фридмана следует, что существует топологическое многообразие с формой пересечений $E_8$ — знаменитой положительно определённой унимодулярной формой ранга 8. А Саймон Дональдсон в 1982 году доказал, что у гладкого односвязного четырёхмерного многообразия положительно определённая форма пересечений обязана быть диагонализуемой. Форма $E_8$ диагонализуемой не является.

Вывод: многообразие Фридмана с формой $E_8$ существует как топологическое и не допускает никакой гладкой структуры вообще.

Сопоставление двух теорем даёт и второе следствие, ещё более странное: существуют экзотические $\mathbb{R}^{4}$ — пространства, гомеоморфные обычному четырёхмерному, но не диффеоморфные ему. Причём, как показал Тоубс в 1987 году, их континуум. Во всех остальных размерностях гладкая структура на $\mathbb{R}^{n}$ единственна.

Получается редкая картина: две теоремы, доказанные с интервалом в год двумя людьми в разных странах и совершенно разными методами (Фридман — дикой топологией, Дональдсон — уравнениями Янга — Миллса), вместе дают то, чего не даёт ни одна.

Гладкая четырёхмерная гипотеза Пуанкаре — единственная размерность, где вопрос не закрыт до сих пор.

Оговорка о доказательстве

Честность требует сказать и это. Доказательство Фридмана считается одним из самых труднопроверяемых в современной математике: оригинальная статья опирается на длинные геометрические построения с бесконечными итерациями, и математиков, полностью её прочитавших, всегда было немного.

В 2013 году группа топологов провела серию семинаров с целью изложить доказательство полностью и подробно; результатом стала коллективная книга, вышедшая в 2021 году. Итог: доказательство верно, но чтобы это было видно всем, понадобилось около сорока лет и коллективная работа.

Сюжет полезно сопоставить с эссе Тёрстона о том, что математика — это производство понимания, а не только теорем: здесь теорема была получена сразу, а понимание догоняло десятилетиями.

Дальше

Фридман в 1997 году ушёл из академической науки в Microsoft, где возглавил Station Q — лабораторию, занимающуюся топологическими квантовыми вычислениями. Идея: хранить информацию в способе заплетения квазичастиц-анионов, чтобы её нельзя было испортить локальным шумом. Косы здесь ровно те же, что у Джонса, а инварианты — из теории Виттена.

Топология четырёхмерных многообразий, начатая ради чистого интереса, оказалась в проектной документации по квантовому компьютеру.

Задача. Форма пересечений $\mathbb{CP}^{2}$ — это матрица $(1)$; форма $S^{2}\times S^{2}$ — это $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Проверьте, что обе унимодулярны (определитель $\pm1$), и определите, какая из них положительно определена.
(Ответ: $\det(1)=1$, $\det\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=-1$ — обе унимодулярны. Первая положительно определена; у второй собственные значения $\pm1$, сигнатура нуль. Ограничение Дональдсона касается только определённых форм — потому и работает на $E_8$.)

Следующая точка: Бюр-сюр-Иветт — где на группы посмотрят издалека и увидят в них геометрию.