Уитни: всякое многообразие вкладывается в евклидово

Что значит «абстрактное многообразие»

Риман в 1854 году говорил о многообразии как о пространстве, локально описываемом $n$ числами, но определения не дал. Вейль в 1913-м определил риманову поверхность через покрытие картами. Общее определение — множество с атласом карт, склеенных гладкими переходами, — оформилось только в 1930-е, и решающая работа принадлежит Хасслеру Уитни.

Тут возникал естественный вопрос, и он не был праздным. Определение задаёт многообразие изнутри, не помещая его никуда. Но все известные примеры — сферы, торы, поверхности — жили в обычном пространстве. Не окажется ли абстрактное определение слишком широким? Не появятся ли многообразия, которых нигде нельзя разместить?

Теорема Уитни о вложении (1936). Всякое гладкое $n$-мерное многообразие вкладывается в $\mathbb{R}^{2n}$ и погружается в $\mathbb{R}^{2n-1}$.

Ответ: не окажется. Абстрактное определение и «поверхность в евклидовом пространстве» описывают одно и то же, надо только взять достаточную размерность.

Почему $2n$

Оценка не случайна, и её происхождение объясняет половину топологии.

Возьмём отображение $n$-мерного многообразия в $\mathbb{R}^{N}$ в общем положении. Самопересечения — это точки, где совпадают образы двух разных точек; условий на такое совпадение $N$ штук, а свободных параметров $2n$ (по $n$ на каждую точку). Множество самопересечений имеет размерность

$$2n-N .$$

При $N=2n$ получается размерность нуль — самопересечения изолированы; при $N=2n+1$ отрицательна, то есть их нет вовсе. Первую версию теоремы Уитни доказал именно для $\mathbb{R}^{2n+1}$, а затем, «сэкономив одну размерность», убрал изолированные двойные точки специальным приёмом и получил $2n$.

Оценка точна: проективная плоскость $\mathbb{RP}^{2}$ ($n=2$) не вкладывается в $\mathbb{R}^{3}$, а в $\mathbb{R}^{4}$ вкладывается. Бутылка КлейнаФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. — тоже.

Проверим на знакомом: окружность ($n=1$) вкладывается в плоскость $\mathbb{R}^{2}$ — сходится. Узел — это уже вложение окружности в $\mathbb{R}^{3}$, и в $\mathbb{R}^{4}$ всякий узел развязывается, потому что там для окружности слишком просторно.

Трюк Уитни

Приём, которым убираются лишние точки самопересечения (1944), заслуживает отдельного абзаца, потому что на нём стоит вся топология высоких размерностей.

Пусть два подмногообразия пересекаются в двух точках с противоположными знаками — такое пересечение «лишнее», его хочется убрать. Соединим эти две точки путями внутри каждого подмногообразия, получим замкнутую петлю, натянем на неё диск («диск Уитни») и сдвинем одно подмногообразие вдоль этого диска. Точки пересечения аннигилируют.

Всё держится на возможности вложить диск без самопересечений. Диск двумерен; чтобы два двумерных объекта в общем положении не задевали друг друга, нужна размерность больше $2+2$, то есть не меньше пяти.

Отсюда — устройство всей карты размерностей. В размерностях от пяти трюк работает, и потому там доказаны и теорема об h-кобордизме Смейла, и гипотеза ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага., и теоремы о хирургии. В четвёртой диск неизбежно самопересекается — и вся техника рушится; спасти положение частично удалось только Фридману через «ручки Кассона». В третьей места ещё меньше.

Топология высоких размерностей проще низких, и причина ровно одна: там хватает места развести то, что мешает.

Уитни помимо этого

Он начинал с теории графов: будучи студентом, ввёл хроматический полином и доказал ряд теорем о раскрасках — прямой вклад в сюжет четырёх красок. Оттуда же выросла его теория матроидов (1935) — абстракция понятия независимости, работающая одинаково в линейной алгебре и в комбинаторике.

Классы Штифеля — Уитни (1935–37) — характеристические классы для вещественных расслоений, те самые, что окажутся полной системой инвариантов в теории кобордизмов Тома.

Теория особенностей (1955): он классифицировал устойчивые особенности гладких отображений плоскости в плоскость — их ровно две, складка и сборка. Это прямая предшественница теории катастроф, и Том всегда указывал на неё как на отправную точку.

А в 1967 году Уитни, будучи уже профессором Института перспективных исследований и признанным классиком, оставил исследования и посвятил остаток жизни школьному математическому образованию: ездил по школам, вёл уроки в младших классах, писал о том, как учить детей думать, а не считать. Он говорил, что беда школьной математики — не в сложности, а в том, что ребёнка заставляют делать бессмысленное.

Премия Вольфа 1982 года — за работы в топологии; в формулировке отмечены и вложения, и характеристические классы.

Задача. Объясните, почему всякий узел в $\mathbb{R}^{4}$ развязывается.
(Указание: две дуги, пересекающиеся на диаграмме, можно развести по четвёртой координате — приподнять одну и опустить другую; в трёх измерениях такой свободы нет. Формально: самопересечения одномерного объекта в общем положении имеют размерность $2\cdot1-4=-2$, то есть отсутствуют.)

Следующая точка: Горький — где топологический взгляд применят не к отдельному пространству, а ко всему множеству динамических систем сразу.