Андронов и Понтрягин: грубые системы

Новый вопрос

Ляпунов спрашивал: устойчиво ли решение — вернётся ли система к равновесию, если её чуть толкнуть?

Александр Александрович Андронов (1901–1952) и Лев Семёнович Понтрягин (1908–1988) в заметке «Грубые системы» («Доклады АН СССР», том 14, 1937) задали вопрос другого уровня: устойчива ли сама система — сохранится ли качественная картина движения, если чуть изменить не начальные условия, а уравнения?

Разница принципиальная. Всякая модель приблизительна: коэффициенты измерены с погрешностью, малые эффекты отброшены. Если от крошечного изменения уравнений картина переворачивается, модель бессмысленна — предсказывать по ней нельзя. Значит, разумно интересоваться только теми системами, которые этого не делают.

Система называется грубой (структурно устойчивой), если у всякой достаточно близкой к ней системы фазовый портрет топологически эквивалентен исходному: существует гомеоморфизм плоскости, переводящий траектории в траектории.

Обратите внимание, где здесь топология. Сравниваются не решения и не числа, а картины целиком, с точностью до непрерывной деформации. Иначе сравнивать бессмысленно: точные положения равновесия сдвинутся при любом шевелении коэффициентов, а вот их число и тип сохранятся — или не сохранятся, и тогда система негрубая.

Критерий

Для систем на плоскости (в ограниченной области) авторы дали полный ответ.

Критерий Андронова — Понтрягина. Система груба тогда и только тогда, когда

1. положений равновесия конечное число и все они гиперболические (собственные значения линеаризации не имеют нулевой вещественной части);
2. предельных циклов конечное число и все они гиперболические (мультипликатор не равен единице по модулю);
3. нет траекторий, идущих из седла в седло (сепаратрисных связок).

Каждое из условий запрещает определённую неустойчивость картины. Нулевое собственное значение означает, что при шевелении равновесие может исчезнуть, раздвоиться или сменить тип; седловая связка при малейшем возмущении рвётся, и глобальная картина меняется.

Пример, который стоит продумать. Математический маятник без трения: $\ddot\theta+\sin\theta=0$. Фазовый портрет — вложенные замкнутые кривые вокруг центра. Система не груба: добавьте сколь угодно малое трение, и все замкнутые траектории превратятся в спирали, сходящиеся к нулю. Картина изменилась качественно.

Маятник с трением груб: небольшое изменение коэффициента трения оставляет тот же устойчивый фокус и ту же общую картину.

Отсюда вывод, который звучит почти философски: консервативные системы негрубы. Идеальная механика без трения — исключение, а не правило, и её свойства (сохранение энергии, замкнутые орбиты) при малейшем реализме исчезают.

Что было дальше

Пейшото (1962) доказал, что на двумерных поверхностях грубые системы образуют открытое и плотное множество: почти всякая система груба, а негрубые исключительны. Мечта сбылась: можно ограничиться грубыми и ничего существенного не потерять.

И в размерности три и выше это неверно. Смейл в 1966 году построил контрпример: существуют целые области в пространстве систем, где грубых нет вовсе. Причина — гомоклинические сплетения, обнаруженные ещё Пуанкаре, то есть хаос. Программу пришлось перестраивать, и из неё выросла гиперболическая динамика — теория систем, хаотических, но структурно устойчивых.

Бифуркации. Обратная сторона грубости — изучение того, что происходит в точности в момент потери устойчивости. Здесь Андронову принадлежит бифуркация Андронова — ХопфаХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор.: при переходе параметра через критическое значение устойчивое равновесие теряет устойчивость и рождается предельный цикл. Это математическая модель возникновения автоколебаний — от свиста флейты и скрипа мела до биения сердца и колебаний численности популяций.

Из той же линии вырастет теория катастроф Тома: классификация типовых способов, которыми картина может измениться.

Двое

Андронов — создатель горьковской школы нелинейных колебаний. Его книга «Теория колебаний» (1937, с Виттом и Хайкиным) стала классикой; сам он занимался автоколебаниями — самоподдерживающимися колебаниями в системах с источником энергии, от радиогенераторов до часовых механизмов. Приём, которым он это делал, — перевод инженерной задачи на язык фазовых портретов ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. — был для 1930-х годов новым.

Понтрягин ослеп в четырнадцать лет после несчастного случая; математику он изучал на слух, с помощью матери, читавшей ему вслух статьи на языках, которых она не знала, по буквам. Стал одним из крупнейших топологов века: двойственность Понтрягина, характеристические классы Понтрягина (о них — точка о Новикове), теория кобордизмов через конструкцию Понтрягина — Тома. В конце 1950-х он ушёл из топологии в теорию управления и создал принцип максимума Понтрягина (1956) — основу теории оптимального управления, работающую сегодня в каждой системе наведения.

Заметка 1937 года — след их единственного совместного сюжета: топология применена не к пространству, а к множеству динамических систем.

Задача. Для системы $\dot x=-y+\mu x(x^2+y^2)$, $\dot y=x+\mu y(x^2+y^2)$ проверьте, что при $\mu=0$ все траектории — окружности. Объясните, почему такая система негруба.
(Указание: в полярных координатах $\dot r=\mu r^{3}$, $\dot\varphi=1$. При $\mu=0$ радиус постоянен — окружности; при сколь угодно малом $\mu>0$ траектории раскручиваются наружу, при $\mu<0$ — сходятся к нулю. Три качественно разные картины в любой окрестности нуля.)

Следующая точка: барак офлага XVII-A — где под топологию подведут аппарат, о котором её создатели не мечтали.