Хованов: категорификация полинома Джонса

Идея категорификации

Слово придумали Луи Крейн и Игорь Френкель в 1994 году, и обозначает оно вполне определённую операцию: подняться на этаж вверх.

$$\text{число}\ \longrightarrow\ \text{векторное пространство},\qquad \text{векторное пространство}\ \longrightarrow\ \text{категория}.$$

Исходное число восстанавливается как размерность, а если пространство — комплекс, то как эйлерова характеристика.

Зачем это нужно? Затем, что объект этажом выше несёт больше информации, чем число, полученное из него. Мы это уже видели: Эмми Нётер заметила, что числа БеттиЭнрико Беттиитальянский математик · 1823–1892Ввёл числа, меряющие, сколько в пространстве независимых «дыр» каждой размерности. Пуанкаре назвал их числами Бетти, и под этим именем они стоят в основании алгебраической топологии. — всего лишь ранги групп гомологий, и группы помнят кручение, которого числа не видят. Категорификация — та же мысль, проведённая систематически.

И вот вопрос: полином Джонса — не тень ли он чего-то большего?

Комплекс

Михаил Хованов (род. 1972) — выпускник МГУ, защитивший диссертацию в Йеле у Игоря Френкеля; работа, о которой речь, отправлена в 1999 году из Калифорнийского университета в Дэвисе.

Конструкция такая. Возьмём диаграмму узла с $n$ перекрёстками. Каждый перекрёсток можно «расшить» двумя способами — назовём их 0 и 1. Всего вариантов $2^{n}$, и они естественно расставляются по вершинам $n$-мерного куба.

В каждой вершине куба получается набор непересекающихся окружностей. Сопоставим каждой окружности двумерное градуированное векторное пространство $V$, а всей вершине — тензорное произведение $V^{\otimes k}$ по числу окружностей.

Рёбра куба (переход от расшивки 0 к расшивке 1 в одном перекрёстке) либо сливают две окружности в одну, либо разбивают одну на две. Им сопоставляются отображения умножения $V\otimes V\to V$ и коумножения $V\to V\otimes V$ — структура, известная как алгебра ФробениусаФердинанд Фробениуснемецкий математик · 1849–1917За несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой..

Суммируя по диагоналям куба, получаем цепной комплекс. Его гомологии и называются гомологиями Хованова $\mathrm{Kh}(K)$.

Теорема Хованова (1999). Гомологии $\mathrm{Kh}(K)$ — инвариант узла, и его градуированная эйлерова характеристика равна полиному Джонса:
$$\sum_{i,j}(-1)^{i}q^{j}\dim\mathrm{Kh}^{i,j}(K)\ =\ V_K(q).$$

Проверка инвариантности сводится к трём движениям Райдемайстера, и она вполне обозрима — доказательство в изложении Дрора Бар-Натана (2002) читается студентами.

Что это дало

Инвариант строго сильнее. Существуют пары узлов с одинаковым полиномом Джонса и разными гомологиями Хованова. Многочлен их не различает, комплекс различает.

Распознавание тривиального узла. В 2011 году Кронхаймер и Мровка доказали: гомологии Хованова тривиальны тогда и только тогда, когда узел тривиален. Для полинома Джонса аналогичный вопрос открыт до сих пор — неизвестно, существует ли нетривиальный узел с полиномом Джонса, равным единице.

Функториальность. Гомологиям Хованова отвечают не только узлы, но и поверхности между узлами в четырёхмерном пространстве: кобордизму узлов сопоставляется отображение гомологий. Полином Джонса, будучи числом, ничего подобного не умеет. Это ровно та функториальность, о которой шла речь у Нётер, — и она превращает инвариант в инструмент четырёхмерной топологии.

Инвариант Расмуссена. В 2004 году Джейкоб Расмуссен извлёк из гомологий Хованова число $s(K)$ и с его помощью дал комбинаторное доказательство гипотезы МилнораДжон Милнорамериканский математик · 1931–2025Нашёл семимерные сферы, гомеоморфные обычной, но не диффеоморфные ей, — и обнаружил этим, что топологическая структура и гладкая не одно и то же. Пытался доказать противоположное. о том, каков минимальный род поверхности, ограничивающей торический узел в четырёхмерном шаре. До того этот результат был доказан только калибровочной теорией — уравнениями Зайберга — ВиттенаЭдвард Виттенамериканский физик-теоретик и математик · род. 1951Единственный физик, получивший Филдсовскую медаль. Объяснил инвариант узлов квантовой теорией поля — и десятилетиями подсказывает математикам теоремы, которые те потом доказывают своими средствами. Виттена и Кронхаймера — Мровки. Доказательство Расмуссена не содержит ни одного дифференциального уравнения.

Обратите внимание на направление обмена. Раньше физика поставляла математике инструменты; здесь чисто алгебраическая конструкция дала результат, за которым прежде ходили в калибровочную теорию.

Программа

Работа 1999 года оказалась началом большого направления.

Хованов и Аарон Лауда (2008–2010), а независимо Рафаэль Руквье, построили категорифицированные квантовые группы — то есть подняли на этаж вверх сами квантовые группы Дринфельда. Из этого выросли категорификации других инвариантов узлов, связи с теорией представлений и с геометрией пространств модулей.

Сам Виттен в 2011 году предложил физическую интерпретацию гомологий Хованова — через четырёхмерную калибровочную теорию, где полиному Джонса отвечает трёхмерная. То есть категорификация в математике соответствует добавлению одного измерения в физике. Круг, начатый в 1984 году в Филадельфии, замкнулся на этаж выше.

Хованов с 2007 года профессор Колумбийского университета.

Задача. У трилистника $2^{3}=8$ вершин куба резолюций. Посчитайте, сколько окружностей получается при расшивке всех трёх перекрёстков «нулевым» способом и «единичным», и объясните, почему комплекс градуирован по двум индексам сразу.
(Указание: один индекс — номер вершины куба, то есть число единичных расшивок; второй — внутренняя градуировка пространства $V$. Именно двойная градуировка позволяет получить полином от $q$, а не просто число.)

Следующая точка: Принстон — где обнаружится, что топологически устроена не только геометрия, но и сама логика.