Хасслер Уитни

Многообразие можно определять двояко: как поверхность в пространстве или как абстрактный объект, склеенный из кусков. Второй способ удобнее и вызывает подозрение: а существуют ли такие объекты на самом деле? Уитни ответил, что существуют, и предъявил их все.

Теорема о вложении

В 1936 году он доказал:

Теорема Уитни. Всякое гладкое $n$-мерное многообразие вкладывается в $\mathbb{R}^{2n}$.

То есть абстрактное определение ничего нового не даёт: любое многообразие можно уложить в обычное евклидово пространство достаточно большой размерности, без самопересечений. Абстракция оказалась законной — и одновременно необязательной, что и есть лучший способ её оправдать.

Оценка $2n$ точна: бутылку Клейна (двумерную) в трёхмерное пространство без самопересечений уложить нельзя, а в четырёхмерное можно.

Доказательство ведётся так: сперва грубое вложение в пространство большой размерности, потом последовательное понижение проектированиями, причём каждое проектирование выбирается так, чтобы не склеить лишнего. Мера множества «плохих» направлений оказывается нулевой — приём, ставший стандартным.

Трюк Уитни

Второй его вклад в топологию неочевиден по формулировке и решает половину задач предмета.

Пусть два подмногообразия пересекаются в двух точках с противоположными знаками. Хочется их развести — избавиться от пересечения. Трюк Уитни: если найти двумерный диск, границей которого служат дуги на обоих подмногообразиях, то вдоль этого диска пересечение уничтожается сдвигом.

Всё упирается в то, поместится ли диск. При размерности объемлющего многообразия $\geqslant5$ его удаётся разместить так, чтобы он сам себя не задевал; при 3 и 4 — нет.

Отсюда вся структура предмета: Смейл доказал гипотезу Пуанкаре для размерностей от пяти именно потому, что там работает трюк Уитни; четырёхмерный случай потребовал ручек Кассона и Фридмана, трёхмерный — Перельмана и риччиева потока. Топология «больших» размерностей проще «маленьких», и причина — вот эта.

Классы и клетки

Ему же принадлежат классы Штифеля — Уитни — первые характеристические классы в истории, придуманные независимо от Штифеля; теория стратификаций (условия Уитни), позволяющая разбирать особые множества на гладкие куски; теорема о продолжении гладких функций с замкнутого множества; работы по теории графов, где он ввёл понятие связности графа и доказал теорему о двойственности планарных графов.

Отдельная линия — особенности гладких отображений: складка и сборка Уитни, с которых началась теория катастроф.

Школа

Родился в 1907 году в Нью-Йорке, в семье судьи; дед по матери — известный астроном Саймон Ньюком. Учился в Йеле по физике и музыке, докторскую защитил в Гарварде у Джорджа Биркгофа. С 1952 года — Институт перспективных исследований в Принстоне.

Последние двадцать лет жизни он занимался почти исключительно школьным преподаванием математики: ходил по классам, разбирал, почему дети не понимают, и добивался, чтобы обучение шло от смысла, а не от правил. Считал это своим главным делом и говорил, что математическое сообщество зря отдало школу на откуп чиновникам.

Премия Вольфа 1982 года. Был альпинистом — маршрут на Тетон-Рейндж носит его имя. Умер в 1989 году в Принстоне; прах, по завещанию, развеян в швейцарских Альпах.