Карта → событие
де Брёйн: тень пятимерной решётки
Вопрос, оставшийся после ПенроузаРоджер ПенроузСвёл непериодическое замощение плоскости к двум плиткам, доказал теорему о неизбежности сингулярности в общей теории относительности и получил за неё Нобелевскую премию — через пятьдесят пять лет.
К концу 1970-х про паркеты Пенроуза было известно многое, но одна вещь оставалась необъяснённой: почему они вообще существуют и почему в них есть именно пятёрка.
Пенроуз построил их изобретательностью — подобрал правила стыковки, проверил, что работает. Красиво, но не объясняет. Запрет Фёдорова выглядел железным: пятерной симметрии у решётки быть не может. Откуда же она берётся?
Ответ дал Николас Говерт де Брёйн (1918–2012) в двух статьях 1981 года, и ответ оказался почти неприлично простым.
Пятёрка разрешена — в пяти измерениях
Начнём с наблюдения, которое стоит всей конструкции.
Кристаллографический запрет говорит: поворот на $72^\circ$ не может переводить в себя решётку на плоскости. Про решётки в пространствах высокой размерности он ничего не говорит.
А теперь посмотрим на самую обыкновенную целочисленную решётку в пятимерном пространстве — множество точек с целыми координатами $\mathbb{Z}^5$. У неё есть очевидная симметрия порядка 5: циклическая перестановка координат
$$(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \mapsto (x_5, x_1, x_2, x_3, x_4).$$
Применённая пять раз, она даёт тождество. Это поворот порядка 5, переводящий решётку в себя. Никакого противоречия с Фёдоровым: его теорема про размерности 2 и 3.
Разрез и проекция
Дальше де Брёйн делает следующее.
Возьмём в $\mathbb{R}^5$ двумерную плоскость $E$, выбранную так, чтобы циклическая перестановка координат поворачивала её саму в себя на $72^\circ$. Такая плоскость есть — она натянута на подходящую пару собственных векторов перестановки.
Вокруг $E$ построим «слой» конечной толщины и отберём те узлы решётки $\mathbb{Z}^5$, которые в этот слой попали. Спроецируем отобранные узлы на $E$.
Получится множество точек на плоскости. Соединив соседние, получаем замощение — и это в точности замощение Пенроуза.
Что произошло с двумя свойствами:
Симметрия сохранилась. Поворот на $72^\circ$ переводит решётку в себя, слой в себя, плоскость $E$ в себя — значит, и результат в себя.
Периодичность исчезла. Плоскость $E$ расположена в $\mathbb{R}^5$ «иррационально»: она не содержит ни одного ненулевого узла решётки, кроме начала координат. Поэтому ни один перенос решётки не даёт переноса картинки: сдвиг на вектор решётки выводит из плоскости $E$, а его проекция не совмещает узор с собой.
Вот и весь механизм. Пенроузовский узор — тень периодической решётки, отброшенная под иррациональным углом. Порядок в нём от решётки, а отсутствие периода — от угла.
Одномерная модель, которую можно нарисовать на клетчатой бумаге
Возьмите обычную клетчатую бумагу — это решётка $\mathbb{Z}^2$ — и проведите прямую с иррациональным угловым коэффициентом, например $y = x/\varphi$.
Отберите все узлы решётки, лежащие в узкой полосе вдоль этой прямой, и спроецируйте их на неё. На прямой получится последовательность точек с двумя разными расстояниями между соседями — назовём их L (длинное) и S (короткое).
Последовательность букв, которая при этом выходит, — знаменитое слово ФибоначчиЛеонардо ПизанскийПривёз в Европу индийские цифры, нуль и счёт пером вместо жетонов на доске; кролики из двенадцатой главы — побочная задача, прославившая его через шестьсот пятьдесят лет.:
$$\text{L S L L S L S L L S L L S L S L L S L S L}\ldots$$
Оно непериодично, отношение количества L к количеству S равно $\varphi$, и получается оно правилом подстановки $\text{L} \to \text{LS}$, $\text{S} \to \text{L}$ — тем самым раздуванием, что и у Пенроуза. Это одномерный квазикристалл, и построить его может любой восьмиклассник за двадцать минут.
Второй способ: пятерная сетка
В той же работе де Брёйн даёт и другое построение — пентагрид. Возьмём пять семейств параллельных прямых, повёрнутых друг относительно друга на $72^\circ$, со сдвигами, сумма которых не равна нулю. Прямые режут плоскость на области; поставим в соответствие каждой области ромб — и получим то же самое замощение.
Оба описания оказались практичнее исходных правил стыковки: по ним замощение можно строить локально, не проверяя согласованность с бесконечностью.
Кто это сделал
Де Брёйн работал в Эйндховене и известен далеко за пределами этого сюжета: последовательности и графы де Брёйна лежат в основании современной сборки геномов, а созданная им система AUTOMATH (1967) была первой в мире системой формальной проверки доказательств — прямая прабабушка того Coq, которым в 2005 году проверили теорему о четырёх красках.
Через три года после его работы пятимерная конструкция понадобится физикам — потому что окажется, что она описывает не воображаемый узор, а настоящий металл.
Следующая точка: Оксфорд — где физика вернёт геометрии долг и обнаружится, что размерность нашего пространства-времени особенная.