Боголюбов: теорема об острие клина

Причинность превращается в аналитичность

Начнём с оптики, где это видно на школьном уровне. Среда откликается на воздействие; отклик описывается функцией $\chi(t)$ — «насколько сильно среда реагирует спустя время $t$ после толчка». Причинность означает ровно одно:

$$\chi(t)=0\quad\text{при } t<0.$$

Следствие мгновенное. Преобразование ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.

$$\chi(\omega)=\int_{0}^{\infty}\chi(t)\,e^{i\omega t}\,dt$$

берётся только по положительным временам, а значит, при $\operatorname{Im}\omega>0$ экспонента убывает и интеграл сходится тем лучше, чем выше мы поднялись. Функция отклика аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость комплексной частоты. А для аналитической функции работает формула КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., из которой немедленно получаются соотношения Крамерса — Кронига (1926–1927):

$$\operatorname{Re}\chi(\omega)=\frac{1}{\pi}\,\mathrm{v.p.}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{Im}\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega'.$$

Физический смысл ошеломляет: измерив поглощение на всех частотах, вы вычислите преломление на любой — и наоборот. Две независимые на вид характеристики среды жёстко связаны, и связывает их одно лишь требование, чтобы следствие не опережало причину.

Та же идея для элементарных частиц — и почему это трудно

В 1950-е физики захотели того же для рассеяния частиц: вывести из причинности аналитичность амплитуды рассеяния по энергии, а из неё — дисперсионные соотношения, связывающие сечения при разных энергиях. Такие соотношения проверяемы на ускорителе, и в них нет ни одной подгоночной константы: это чистая проверка самих принципов теории.

Препятствия оказались серьёзными.

Первое. Причинность в теории поля выглядит иначе: коммутатор операторов поля обращается в нуль, когда точки разделены пространственноподобно, — то есть нуль задан не на полупрямой, а вне светового конуса.

Второе, решающее. Все объекты здесь — обобщённые функции (распределения): произведение операторов поля в одной точке не имеет смысла как функция. Значит, и «граничное значение» аналитической функции надо понимать в смысле распределений, и классические теоремы о продолжении не годятся.

Теорема

Боголюбов доказал в 1956 году утверждение, которое и стало недостающим звеном.

Теорема об острие клина. Пусть $C$ — открытый конус, $U$ — окрестность в вещественном пространстве, и функция $f_{+}$ аналитична в «клине» $U+iC$, а $f_{-}$ — в противоположном клине $U-iC$. Если их граничные значения на вещественном «острие» $U$ совпадают (как обобщённые функции), то $f_{+}$ и $f_{-}$ суть сужения одной функции, аналитической в целой окрестности острия.

Одномерный случай знаком из курса ТФКП: две функции, аналитические в верхней и нижней полуплоскостях и имеющие на отрезке вещественной оси одинаковые непрерывные предельные значения, склеиваются в одну аналитическую — принцип непрерывного продолжения, он же принцип симметрии Шварца. Доказывается теоремой Мореры за десять строк.

В нескольких переменных всё иначе. «Острие» — вещественное подпространство, множество меры нуль по сравнению с областями, где живут обе функции; клинья касаются его лишь краем, а предельные значения — распределения, которые нельзя сравнивать поточечно. Именно поэтому теорема, очевидная на плоскости, оказалась содержательным результатом в пространстве.

Что из неё вышло

Из теоремы Боголюбова следует аналитичность амплитуды рассеяния в нужной области комплексной плоскости, а из аналитичности — дисперсионные соотношения для рассеяния пионов на нуклонах. Изложено это в книге Боголюбова, Медведева и Поливанова «Вопросы теории дисперсионных соотношений» (1958). Соотношения проверили на ускорителях — они выполнились.

Это важный эпизод в отношениях математики и физики: из общих принципов (причинность, релятивистская инвариантность, спектральное условие), без всякой модели взаимодействия, получены числа, которые можно измерить. Отсюда выросла аксиоматическая теория поля, а вслед за ней — работы В. С. Владимирова о многомерном комплексном анализе, где теорема об острие клина обобщается во всех направлениях.

Тогда же Боголюбов вместе с Остапом Парасюком доказал теорему (1955–1957), превратившую перенормировку из физического рецепта в математическую процедуру: их R-операция строит конечный результат вычитанием расходимостей в правильном порядке. Это одна из немногих теорем, за которыми стоит вся современная физика частиц.

Дубна

Объединённый институт ядерных исследований основан в марте 1956 года; тогда же создана Лаборатория теоретической физики, которую возглавил Боголюбов (её и сегодня называют его именем). С 1965 по 1988 год он был директором всего института.

Человек

Николай Николаевич Боголюбов (1909–1992) — сын профессора богословия, семинариста по образованию. Систематического высшего образования он не получил: к тринадцати годам его заметил академик Н. М. Крылов и взял к себе, к девятнадцати он окончил аспирантуру, в двадцать один имел докторскую степень — при полном отсутствии диплома.

Совместные работы с Крыловым по нелинейной механике создали новую дисциплину. Дальше — цепочка уравнений ББГКИ в статистической физике (1946), микроскопическая теория сверхтекучести (1947) и сверхпроводимости (1958). В основе обеих лежит один приём, вошедший в учебники как преобразование Боголюбова:

$$b=u\,a+v\,a^{\dagger},\qquad u^{2}-v^{2}=1,$$

— гиперболический поворот в пространстве операторов рождения и уничтожения, после которого гамильтониан взаимодействующих частиц становится гамильтонианом свободных квазичастиц. Тот же приём сегодня работает в теории квантовых полей в искривлённом пространстве — на нём стоит вывод излучения Хокинга.

Следующая точка: Ленинград, 1958 — Ладыженская берётся за уравнения Навье — СтоксаДжордж Габриэль Стоксбританский математик и физик · 1819–1903Вывел уравнения движения вязкой жидкости, которые полтора века спустя стали одной из семи Проблем тысячелетия. Занимал кембриджскую кафедру Ньютона пятьдесят четыре года..