Лёйтзен Брауэр

Мало кто ссорился с самим собой так решительно. Теоремы, которыми Брауэр знаменит, доказаны от противного — то есть ровно тем способом, который он потом объявил недопустимым. Переиздавать их он отказывался.

Три года

Родился в 1881 году в Оверсхи под Роттердамом, учился в Амстердаме у Дидерика Кортевега — того самого, чьё имя носит уравнение мелкой воды. Диссертация 1907 года «Об основаниях математики» уже наполовину состояла из философии, и научный руководитель заставил выкинуть самые резкие места.

А дальше, между 1910 и 1913 годами, Брауэр сделал топологию рабочей наукой.

Инвариантность размерности. $\mathbb{R}^{n}$ и $\mathbb{R}^{m}$ гомеоморфны только при $n=m$. Это выглядит очевидным ровно до тех пор, пока не вспомнить, что Кантор построил биекцию отрезка на квадрат, а Пеано — непрерывное отображение отрезка на квадрат. Оставалось выяснить, не бывает ли отображения сразу и непрерывного, и взаимно однозначного. Не бывает.

Теорема о неподвижной точке. Всякое непрерывное отображение шара в себя оставляет хоть одну точку на месте. Положите карту города на землю в этом же городе — найдётся точка карты ровно над тем местом, которое она изображает.

Степень отображения и теорема о причёсывании ежа: на сфере чётной размерности не бывает непрерывного касательного поля без нулей, а значит, в каждый момент на Земле есть точка, где горизонтальный ветер равен нулю.

Занятно, что теорему о неподвижной точке для трёх измерений шестью годами раньше доказал рижанин Пирс Боль — и никто, включая Брауэра, этого не заметил.

Отречение

К 1918 году Брауэр перестал считать эти доказательства доказательствами.

Его довод такой. Утверждение «существует $x$ со свойством $P$» имеет смысл только тогда, когда мы умеем такой $x$ предъявить. Рассуждение «допустим, что не существует, — получили противоречие, значит, существует» ничего не предъявляет. Значит, закон исключённого третьего, аристотелевский по происхождению, годится для конечных совокупностей и незаконно перенесён на бесконечные.

Так возникает интуиционизм: математика есть деятельность построения, а не описание готового мира; логика — не фундамент математики, а её позднейшее наблюдение над собой. Цена высока: без исключённого третьего рассыпается изрядная часть анализа. Брауэр был готов платить и построил свою версию континуума — из «свободно становящихся последовательностей», где всякая функция автоматически непрерывна.

Война за основания

Гильберт увидел в этом покушение на математику как таковую: «отнять у математика закон исключённого третьего — то же, что отнять у астронома телескоп». Спор шёл больше десяти лет и кончился административно: в 1928 году Гильберт единолично вывел Брауэра из редколлегии «Mathematische Annalen» — по сути распустив редакцию и собрав её заново. Формально Гильберт выиграл; Брауэр после этого почти не публиковался.

По существу же выиграли обе стороны и ни одна. Теоремы Гёделя показали, что гильбертовская программа в задуманном виде невыполнима, а Генцен доказал непротиворечивость арифметики средствами, которые ни один из двоих не признал бы своими. Интуиционистская же логика оказалась не сектой, а работающим инструментом: на ней стоят современные системы проверки доказательств, где «доказать существование» и означает «предъявить программу, которая строит объект».

Конец

Читать лекции Брауэр умел плохо, вёл жизнь замкнутую, жил в Бларикюме в доме без электричества. Погиб в 1966 году под колёсами автомобиля, переходя дорогу у собственного дома.

Топология давно пользовалась его теоремами, не спрашивая, признаёт ли их автор.