Аристотель: форма важнее содержания

Ход, который никому не приходил в голову

До Аристотеля спорить умели прекрасно. Софисты торговали умением спорить, Сократ спорил бесплатно, Зенон ЭлейскийЗенон Элейскийгреческий философ · около 490–430 до н. э.Придумал апории, из-за которых математика две тысячи лет опасалась бесконечности, — и которые оказались первым в истории вопросом о сходимости бесконечного ряда. своими апориями довёл спор до искусства. Но все они спорили о чём-то: о движении, о справедливости, о богах.

Аристотель сделал то, чего до него не делал никто: он стал разбирать рассуждение, не глядя на его содержание.

Возьмите два вывода:

• Все люди смертны. Сократ — человек. Значит, Сократ смертен.
• Все планеты светят отражённым светом. Марс — планета. Значит, Марс светит отражённым светом.

Второй вывод верен не потому, что мы что-то знаем про Марс, а потому, что он устроен так же, как первый. Заменим слова буквами:

Всякое $B$ есть $A$. Всякое $C$ есть $B$. Значит, всякое $C$ есть $A$.

Это и есть открытие: у рассуждения есть форма, форму можно записать отдельно от смысла, и правильность живёт именно в форме. Буквы вместо слов — тоже изобретение Аристотеля, и оно опережает алгебру на полторы тысячи лет.

Трактаты, где всё это изложено, — «Первая аналитика» и «Вторая аналитика», части свода, который поздние комментаторы назвали «Органон», то есть «Орудие»: логика — не часть философии, а инструмент для всякой науки.

Устройство машины

Силлогизм — вывод из двух посылок, в которых участвуют три термина. Каждая посылка и заключение имеют один из четырёх видов:

Вид	Запись	Пример
Общеутвердительное	Всякое $S$ есть $P$	всякий ромб — параллелограмм
Общеотрицательное	Никакое $S$ не есть $P$	никакое простое число, кроме 2, не чётно
Частноутвердительное	Некоторое $S$ есть $P$	некоторый параллелограмм — ромб
Частноотрицательное	Некоторое $S$ не есть $P$	некоторый параллелограмм не ромб

Термины расставляются по посылкам четырьмя способами — это фигуры силлогизма (у самого Аристотеля их три, четвёртую добавили позже). Итого мыслимых сочетаний $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 = 256$, и вся работа состоит в том, чтобы отделить правильные от неправильных.

Правильных ровно 24. Причём девять из них правильны лишь при негласном допущении, что термины непусты; в современной логике честно правильны пятнадцать.

Средневековые школяры заучивали их по латинским мнемоникам, где гласные кодируют виды посылок: Barbara, Celarent, Darii, Ferio — первая фигура; Cesare, Camestres, Festino, Baroco — вторая. «Barbara» — три «a» подряд, три общеутвердительных: тот самый Сократ.

Почему не все 256 годятся — проверка на двух примерах

Возьмём сочетание, которое выглядит правильным, но таковым не является:

Всякое $A$ есть $B$. Всякое $C$ есть $B$. Значит, всякое $C$ есть $A$?

Подставим: всякий квадрат — прямоугольник; всякий прямоугольник со сторонами 1 и 2 — прямоугольник; значит, всякий прямоугольник со сторонами 1 и 2 — квадрат. Вывод ложен при истинных посылках, значит форма негодна.

А вот пример на существование. Форма Darapti:

Всякое $B$ есть $A$. Всякое $B$ есть $C$. Значит, некоторое $C$ есть $A$.

Если класс $B$ пуст, обе посылки истинны впустую, а заключение утверждает, что кто-то существует. «Всякий единорог — млекопитающее; всякий единорог — рогат; значит, некоторое рогатое существо — млекопитающее» — вывод верен, но не из этих посылок. Именно поэтому из 24 «традиционно правильных» форм в современной логике остаётся 15.

Чего в этой машине нет

Силлогистика проработала двадцать два века и всё это время не умела одной простой вещи — рассуждать об отношениях.

Классический пример принадлежит Огастесу де Моргану, современнику БуляДжордж Бульанглийский математик и логик · 1815–1864Сын сапожника, не проучившийся в университете ни дня, превратил логику в алгебру — и через девяносто лет выяснилось, что это в точности алгебра электрических переключателей.:

Всякая лошадь есть животное. Следовательно, всякая голова лошади есть голова животного.

Вывод очевиден любому школьнику. Записать его силлогизмом невозможно: «голова лошади» — не термин, а отношение «$x$ есть голова $y$», а отношений в системе Аристотеля нет вовсе. Нет там и того, что математика делает на каждом шагу: «для всякого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$…» — двух кванторов подряд, да ещё разных.

Именно эту дыру закроет Фреге в 1879 году — и закроет так, что от силлогистики останется маленький частный случай.

Ошибка Канта

В предисловии ко второму изданию «Критики чистого разума» (1787) Кант написал о логике, что со времён Аристотеля она не смогла сделать ни шагу вперёд и, судя по всему, представляет собой замкнутое и завершённое учение.

Как диагноз это было честно: за двадцать два века действительно не прибавилось почти ничего. Как прогноз — трудно ошибиться сильнее. Через шестьдесят лет Буль превратит логику в алгебру, ещё через тридцать Фреге построит исчисление предикатов, а к 1930 году логика станет разделом математики, доказывающим теоремы о самой математике.

Мораль тут не про Канта. Она про то, что «наука закончена» — самый ненадёжный вывод, какой можно сделать из отсутствия новостей.

Что осталось

От Аристотеля в сегодняшней математике осталось больше, чем кажется, — просто оно перестало называться его именем.

• Буквы вместо предметов. Мы пишем «для всякого $n$» не задумываясь; это его ход.
• Закон противоречия и закон исключённого третьего («Метафизика», книга IV) — то, что потом станет предметом спора между Гильбертом и Брауэром.
• Идея аксиоматики. Во «Второй аналитике» сказано: не всё можно доказать, доказательство обязано где-то начинаться, и начала принимаются без доказательства. Через полвека ЕвклидЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. напишет по этому рецепту «Начала».

А главное — сама мысль, что рассуждение можно изучать как предмет. Двадцать три века спустя из неё вырастет утверждение, что рассуждение можно вычислять, и машина для этого.

Следующая точка: Милет, тот же век — где обнаружат фразу, которую эта машина не берёт.