Зенон Элейский

Аристотель называл его изобретателем диалектики. Математики предпочитают другую формулировку: Зенон задал вопрос, на который смогли ответить только в XIX веке.

Элея

Родился около 490 года до н. э. в Элее — греческой колонии на юге Италии. Ученик и, по преданию, приёмный сын Парменида, учившего, что бытие едино и неподвижно, а множественность и движение — обман чувств.

Апории Зенона написаны в защиту учителя, и это существенно: он не утверждал, что движения нет, он показывал, что привычные представления о нём приводят к противоречию. Это приём от противного, применённый к физическому миру, — и, кажется, первый такой в истории.

Собственного текста не сохранилось; всё известно по пересказам Аристотеля и Симпликия. Из сорока с лишним рассуждений до нас дошли девять.

Четыре апории

Самые известные — про движение.

Дихотомия. Чтобы пройти путь, надо сперва пройти половину, до этого — четверть, и так далее. Начал движения не существует: перед всяким первым шагом есть меньший.

Ахиллес и черепаха. Быстроногий Ахиллес не догонит черепаху, если та вышла раньше: пока он добежит до её места, она отползёт; пока добежит туда — ещё отползёт. Точек встречи бесконечно много, и всякий раз черепаха впереди.

Стрела. В каждый момент летящая стрела занимает равное себе место, то есть покоится. Из суммы покоев движение не складывается.

Стадий — о том, что относительная скорость встречных тел даёт противоречие с представлением о неделимых моментах.

Что тут математического

Ахиллес и черепаха — по существу вопрос о сходимости ряда: моменты встреч образуют последовательность $1, 1/2, 1/4, \ldots$, и вопрос в том, конечна ли их сумма. Ответ «да, ряд сходится, и сумма конечна» требует понятия предела, которого не будет ещё двадцать три века.

Античная реакция была другой: раз бесконечное деление ведёт к парадоксу, лучше с актуальной бесконечностью не иметь дела вовсе. Аристотель разделил бесконечность потенциальную и актуальную, признав первую и отвергнув вторую; метод исчерпывания Евдокса устроен так, чтобы обойтись без предельного перехода, — и математика прожила так две тысячи лет.

Строгий ответ дали Коши и Вейерштрасс: сумма ряда — это предел частичных сумм, и предел этот конечен. А через сто лет Робинсон показал, что можно ответить и иначе — построив числа, меньшие всякого положительного, но не нулевые, и обращаясь с ними по правилам.

Смерть

О ней сообщают несколько несогласных между собой источников. Общее в них: Зенон участвовал в заговоре против тирана, был схвачен и под пыткой отказался назвать сообщников — по одной версии, откусив себе язык и выплюнув его в лицо мучителю.