Кирик Новгородец: «Учение о числах»

Текст

Полное название — «Учение им же ведати человеку числа всех лет», написано в 1136 году дьяконом и доместиком (регентом) новгородского Антониева монастыря Кириком, которому было тогда двадцать шесть лет.

Это древнейший сохранившийся математический и астрономический текст восточных славян. Он невелик — несколько страниц — и целиком посвящён счёту времени.

Задача у него прикладная: церковный календарь требует вычислять дату Пасхи, а она зависит и от солнечного года, и от лунных фаз. Работа с такими вычислениями — не арифметика в школьном смысле, а именно дискретная математика: счёт по циклам, остатки, наименьшие общие кратные.

Календарные циклы

Кирик разбирает три цикла, и на них стоит посмотреть внимательно.

Круг Солнца — 28 лет. Расписание дней недели по числам месяца повторяется через 28 лет: в юлианском календаре период равен $7\cdot4=28$ (семь дней недели, четырёхлетний цикл високосов).

Круг Луны — 19 лет. Через 19 солнечных лет фазы Луны возвращаются к тем же датам: 19 лет содержат почти ровно 235 лунных месяцев (расхождение около двух часов). Этот цикл в Европе называют метоновым, по имени афинского астронома V века до н. э.

Великий индиктион — 532 года. Чтобы совпали оба цикла, надо взять наименьшее общее кратное:

$$\mathrm{lcm}(19,28)=19\cdot28=532,$$

потому что 19 — простое и с 28 общих делителей не имеет. Через 532 года вся пасхальная таблица повторяется буквально. Кирик этот период знает и пользуется им.

По существу здесь работает китайская теорема об остатках: дата определяется остатками по двум взаимно простым модулям, и по паре остатков она восстанавливается однозначно в пределах периода 532. Ни Кирик, ни его европейские современники теоремы не формулировали — но считали именно так.

Кроме того, он приводит счёт «от сотворения мира» в разных единицах: сколько прошло лет, месяцев, недель, дней, часов. Числа получаются большие — до нескольких десятков миллионов, — и умение с ними обращаться само по себе для XII века нетривиально.

Дробные часы

Самая интересная часть — та, где Кирик выходит за пределы прикладной задачи.

Он делит час на пять дробных часов, каждый из них — снова на пять, и так далее. Получается геометрическая прогрессия:

$$1,\quad \frac15,\quad \frac1{25},\quad \frac1{125},\ \dots$$

Он доходит до седьмого дробного часа, то есть до

$$\frac{1}{5^{7}}=\frac{1}{78\,125}\ \text{часа}\ \approx\ 0{,}046\ \text{секунды},$$

и на этом останавливается со словами, что дальше дробных часов не бывает — их больше не рождается.

Место замечательное. Кирик упирается в вопрос, который через восемь веков станет центральным для оснований математики: бесконечно ли делимо время? Античность его обсуждала (парадоксы Зенона), схоластика тоже; но здесь видно, как человек, честно выполняющий вычисление, доходит до предела применимости своих понятий и это фиксирует.

Ответа он не даёт — да и не мог дать: понятие предела появится только в XVII веке. Но остановка не произвольна. Он делит не абстрактную величину, а измеримое время, и справедливо замечает, что за пределом различимости деление теряет смысл. Это, если угодно, физическая, а не математическая позиция — и по нынешним понятиям она вернее наивно-математической.

Число $5^{7}=78125$ он, между прочим, выписывает верно, что для эпохи без позиционной записи (славянские цифры — буквенные, как греческие) требует навыка.

Что вокруг

Кирик известен и другим сочинением — «Вопрошанием Кирика», записью его вопросов новгородскому епископу Нифонту по вопросам церковной практики; это ценнейший источник по быту Руси XII века. То, что оба текста написаны одним человеком, даёт редкую возможность увидеть автора целиком: практичный, дотошный, склонный доводить рассуждение до конца.

На карте эта точка — древнейшая русская. Следующая появится только через пять с половиной веков — «Арифметика» Магницкого (1703), а до того математическая традиция Руси существует почти исключительно в виде календарных расчётов.

Задача. Проверьте, что великий индиктион равен именно 532 годам, и объясните, почему нельзя обойтись меньшим числом.
(Ответ: $\mathrm{lcm}(19,28)$. Так как $19$ простое и не делит $28$, наименьшее общее кратное равно произведению: $19\cdot28=532$. Любой меньший общий период делился бы и на 19, и на 28, то есть был бы кратен 532 — противоречие.)

Следующая точка: Прованс — где комбинаторику впервые начнут доказывать, а не только считать.