Янко: сюрприз из Канберры

Исправление географии

Исходная версия помещает открытие в университет Монаша под Мельбурном. Это неверно.

Звонимир Янко (1932–2022), хорват, защитившийся в Загребе, работал в Австралии с 1962 по 1968 год: сначала научным сотрудником в Австралийском национальном университете в Канберре, и только потом профессором в университете Монаша (Мельбурн).

Группа $J_{1}$ найдена и опубликована в 1965 году, когда Янко был в Канберре (статья «A new finite simple group with abelian Sylow 2-subgroups», Proceedings of the National Academy of Sciences 53 (1965), 657–658; полная версия — Journal of Algebra, 1966).

В Мельбурне, куда он перешёл позже, он предсказал существование $J_{2}$ и $J_{3}$ (1966). Так что Мельбурн в этой истории тоже есть, но $J_1$ — Канберра.

Век уверенности

Эмиль Матьё (Париж) в 1861 и 1873 годах нашёл пять групп, не укладывающихся ни в какое семейство:

$$M_{11},\ M_{12},\ M_{22},\ M_{23},\ M_{24}$$

порядков от 7920 до 244 823 040. Это группы подстановок с феноменальным свойством кратной транзитивности: $M_{24}$ действует на 24 точках 5-транзитивно (любую упорядоченную пятёрку точек можно перевести в любую другую). Кроме симметрических и знакопеременных, 5-транзитивных групп больше нет вовсе.

Их называли спорадическими — «случайными», не входящими в системы. И девяносто лет после 1873 года ни одной новой не находили. Сложилось убеждение, что список закрыт: пять исключений, дальше только семейства.

Как была найдена $J_1$

Метод, ставший затем стандартным, — исследование централизатора инволюции.

Идея. Пусть $G$ — простая группа, $t\in G$ — инволюция ($t^2=e$). Рассмотрим $C_{G}(t)=\{g: gt=tg\}$. Оказывается, устройство централизатора очень сильно ограничивает саму группу. Это следствие теоремы БрауэраЛёйтзен Брауэрнидерландский математик · 1881–1966За три года выдал топологии её рабочий арсенал, а потом объявил собственные доказательства незаконными и двадцать лет воевал с Гильбертом за право математики говорить только о том, что построено. — Фаулера (1955): при заданном централизаторе инволюции существует лишь конечное число простых групп.

Значит, можно действовать так: предположить, что централизатор имеет некоторый вид, и посмотреть, какая группа получится.

Янко изучал случай, когда силовская 2-подгруппа абелева, а централизатор инволюции изоморфен $\mathbb{Z}/2\times A_{5}$. Проводя вычисления, он обнаружил, что такая группа обязана иметь порядок

$$|J_{1}| = 175\,560 = 2^{3}\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot19$$

и построил её явно — как группу матриц $7\times7$ над полем $\mathbb{F}_{11}$, порождённую двумя конкретными матрицами.

Обратите внимание на порядок. В разложении присутствуют простые 11 и 19 — совершенно неожиданные сомножители. Именно такая «неправильность» и характерна для спорадических групп.

Золотая лихорадка

Открытие Янко произвело эффект разорвавшейся бомбы: раз список не закрыт, сколько ещё там?

За следующее десятилетие найдено ещё двадцать спорадических групп — всего 26 (5 Матьё + 21). Хронология примерно такая:

Годы	Группы	Кто
1965	$J_1$	Янко
1966–68	$J_2$, $J_3$	Янко (предсказал), Холл и Уэйлс, Хигмен и Маккей (построили)
1968	$Co_1$, $Co_2$, $Co_3$, $McL$, $HS$, $Suz$	Конвей, Маклафлин, Хигмен и Симс, Судзуки — вокруг решётки Лича
1968–72	$He$, $Ly$, $Ru$, $ON$	Хелд, Лайонс, Рудвалис, О'Нэн
1968–76	$Fi_{22}$, $Fi_{23}$, $Fi_{24}'$, $B$, $M$	ФишерРональд Фишеранглийский статистик и генетик · 1890–1962Придумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции.
1976	$J_4$	Янко (предсказал); построена в 1980

Заметная роль решётки Лича — необыкновенно плотной упаковки шаров в 24-мерном пространстве (Джон Лич, 1965). Джон Конвей за одни выходные вычислил её группу симметрий, порядок которой оказался равен

$$8\,315\,553\,613\,086\,720\,000,$$

и обнаружил внутри неё три новые простые группы. Он рассказывал, что предупредил жену: заперся на двенадцать часов в субботу и на двенадцать в воскресенье — и вышел с результатом.

Монстр

Кульминация охоты.

В 1973 году Бернд Фишер и Роберт Грисс независимо предсказали существование гигантской спорадической группы, исходя из анализа централизаторов. Её назвали Монстром (также «Дружественный гигант», $F_1$, $M$).

Предсказанный порядок:

$$|M| = 2^{46}\cdot3^{20}\cdot5^{9}\cdot7^{6}\cdot11^{2}\cdot13^{3}\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31\cdot41\cdot47\cdot59\cdot71$$
$$= 808\,017\,424\,794\,512\,875\,886\,459\,904\,961\,710\,757\,005\,754\,368\,000\,000\,000 \approx 8\cdot10^{53}.$$

Для сравнения: число атомов в Земле оценивается величиной порядка $10^{50}$.

Построена группа была Робертом Гриссом зимой 1980 года в Энн-Арборе (Мичиган) — вручную, без компьютера, за несколько месяцев непрерывной работы. Он построил коммутативную неассоциативную алгебру размерности

$$196\,884$$

(«алгебра Грисса») и доказал, что её группа автоморфизмов и есть Монстр.

Наименьшее точное представление Монстра имеет размерность 196 883 (алгебра Грисса — это представление размерности 196 883 плюс одномерное тривиальное). Работать с матрицами такого размера напрямую невозможно, поэтому построение «руками» было настоящим подвигом.

Двадцать из двадцати шести спорадических групп оказываются подгруппами или факторами подгрупп Монстра («Счастливое семейство»); остальные шесть ($J_1$, $J_3$, $J_4$, $Ru$, $ON$, $Ly$) — «парии», в Монстра не вкладывающиеся. Заметим: первая найденная спорадическая группа современности, $J_1$, оказалась парией.

Открытый вопрос

Почему их 26? Почему именно эти? Ответа нет. Классификация даёт список, но не даёт объяснения. Спорадические группы — не результат какой-то видимой конструкции; они просто есть.

Это одна из немногих ситуаций в математике, где полный и строго доказанный ответ не приносит понимания. Вопрос «почему исключения именно такие» остаётся открытым, и следующая точка — единственная известная зацепка.

Следующая точка: Чикаго — план, превративший груду результатов в проект.