Горенстейн: программа

Ситуация к 1972 году

За семнадцать лет после ШеваллеКлод Шеваллефранцузский математик · 1909–1984Построил группы Ли над конечными полями — и тем выдал почти весь список конечных простых групп одной конструкцией. и девять после ФейтаУолтер Фейтамериканский математик · 1930–2004Вместе с Томпсоном доказал, что всякая конечная группа нечётного порядка разрешима. Статья заняла 255 страниц и целый выпуск журнала — и с неё началась классификация конечных простых групп. — Томпсона накопилось следующее.

Инструменты есть:

• локальный анализ (изучение нормализаторов $p$-подгрупп) — Томпсон;
• теория характеров как оружие — от Бёрнсайда до Фейта;
• метод централизатора инволюции — БрауэрЛёйтзен Брауэрнидерландский математик · 1881–1966За три года выдал топологии её рабочий арсенал, а потом объявил собственные доказательства незаконными и двадцать лет воевал с Гильбертом за право математики говорить только о том, что построено., Фаулер, Янко;
• классификация групп с абелевыми силовскими 2-подгруппами (Уолтер, 1969);
• N-теорема Томпсона (1968–74) — классификация минимальных простых групп, работа объёмом более 400 страниц.

Материала тоже много: десятки статей, сотни страниц, двадцать с лишним спорадических групп.

Но плана нет. Никто не знал, сколько ещё осталось, какие случаи не разобраны, в каком порядке двигаться и закончится ли это когда-нибудь. Преобладала оценка, что классификация — дело следующего столетия.

Доклад

Летом 1972 года на конференции в Чикагском университете Даниэль Горенстейн (1923–1992) изложил программу из шестнадцати пунктов, охватывающую всё оставшееся.

Общая идея разбиения:

1. Группы малого 2-ранга (силовская 2-подгруппа устроена просто) — отдельная техника;
2. Группы «характеристики 2» (ведут себя как группы лиева типа над полем чётной характеристики) — основной массив;
3. Прочие, где работает «сигнализаторный функтор» и метод компонент.

Внутри — конкретные подзадачи с указанием, какая техника к какой применима.

Реакция была скептической. Сроки Горенстейн называл порядка тридцати лет; многие считали это фантазией. Тем не менее программа сработала: почти все пункты были выполнены примерно в намеченном порядке.

Организация

Горенстейн взял на себя роль, для которой в математике нет названия: он стал менеджером проекта.

• координировал распределение задач между исследовательскими группами;
• поддерживал переписку, следившую за тем, кто чем занят (чтобы не дублировать и не оставлять дыр);
• писал обзоры, сводящие результаты воедино;
• воспитывал молодых участников;
• добывал финансирование.

Основные исполнители: Ашбахер, Томпсон, Глауберман, Алперин, Бендер, Голдшмидт, Лайонс, Соломон, Тиммесфельд, ФишерРональд Фишеранглийский статистик и генетик · 1890–1962Придумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции., Симс, Конвей, Грисс и ещё около сотни человек.

Итог по объёму: около 10 000 журнальных страниц, свыше 500 статей, 1955–2004.

Ключевой прорыв 1970-х — работы Майкла Ашбахера, который в течение нескольких лет закрыл сразу несколько крупнейших пунктов и резко ускорил проект.

Объявление и правда

В 1983 году Горенстейн объявил классификацию завершённой. Он был уверен: все пункты программы закрыты.

Он ошибся. Случай так называемых квазитонких групп (quasithin) был поручен Джеффри Мейсону, который написал рукопись в несколько сотен страниц, но не довёл её до публикации и не закрыл все подслучаи.

Пробел обнаружился в конце 1980-х. Заполнили его Майкл Ашбахер и Стивен Смит, опубликовав в 2004 году два тома общим объёмом около 1200 страниц.

Честная дата завершения — 2004 год, и это стоит указывать прямо: объявление 1983 года было преждевременным, хотя и добросовестным.

Горенстейн до этого не дожил: он умер в 1992 году, на Мартас-Винъярде, продолжая работать до последних дней.

Второе поколение

Горенстейн понимал проблему, о которой сказано в точке о Фейте и Томпсоне: доказательство физически невместимо в одну голову.

В 1980-х он вместе с Ричардом Лайонсом и Рональдом Соломоном начал проект «второго поколения» — написание единого, связного, самодостаточного доказательства.

• Планировалось около 5000 страниц в двенадцати томах (то есть вдвое короче исходного за счёт единообразия и устранения повторов).
• К настоящему времени опубликовано около десяти томов серии «The Classification of the Finite Simple Groups» (издательство AMS).
• Работа продолжается; из троих инициаторов остался один Соломон.

Существует и третий подход — программа Ашбахера — Смита и отдельно проект, использующий «теорию слияния» (fusion systems), обещающий заметное сокращение.

Зачем отдельная точка

Потому что здесь произошло нечто, чего в математике до тех пор не было: математическая задача была решена методами управления проектами.

Не одиночка и не малая группа, а распределённая работа сотни человек в течение полувека, с планом, координацией и контролем сроков — модель, привычная в физике высоких энергий или геномике, но не в математике.

Горенстейн — редкий случай, когда главный вклад состоит не в теореме, а в организации. Его именем, впрочем, названо и вполне конкретное математическое понятие: кольцо Горенстейна в коммутативной алгебре (из его ранних работ по алгебраической геометрии, 1952).

Соседние точки: Фейт и Томпсон (1963) → Горенстейн → Янко → Moonshine.

Следующая точка: Кембридж — самая странная связь в математике.