255 страниц: нечётный порядок

Уточнение

Уолтер ФейтУолтер Фейтамериканский математик · 1930–2004Вместе с Томпсоном доказал, что всякая конечная группа нечётного порядка разрешима. Статья заняла 255 страниц и целый выпуск журнала — и с неё началась классификация конечных простых групп. (1930–2004) в момент работы был в Корнеллском университете (Итака, штат Нью-Йорк); Джон Григгс ТомпсонДжон Григгс Томпсонамериканский математик · род. 1932Доказал вместе с Фейтом, что всякая конечная группа нечётного порядка разрешима, — работа заняла 255 страниц и целый выпуск журнала — и этим открыл дорогу к классификации конечных простых групп. (род. 1932) — в Чикагском университете. Статья писалась в переписке и при взаимных визитах. Для карты корректнее указать оба места.

Задача

Напомним определение из точки о Галуа: группа разрешима, если существует цепочка нормальных подгрупп с абелевыми факторами. Разрешимые группы — «простые» в смысле устройства, они собираются из абелевых кусков.

Простая неабелева группа заведомо неразрешима. Самая маленькая — $A_{5}$, порядка 60.

Наблюдение. Порядок 60 чётен. Порядки всех известных простых неабелевых групп чётны. Может, это закон?

Гипотеза Бёрнсайда (1911, в его учебнике теории групп): всякая группа нечётного порядка разрешима. Эквивалентно: всякая простая неабелева группа имеет чётный порядок.

Бёрнсайд опирался на наблюдение и на свою же теорему $p^{a}q^{b}$ (1904, доказанную характерами — точка о Фробениусе). Гипотеза простояла пятьдесят два года.

Почему она правдоподобна. Группа чётного порядка содержит элемент порядка 2 — инволюцию (по теореме КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить.). Инволюция — мощный инструмент: можно рассматривать её централизатор, действовать ею на группу, строить индукцию. В группе нечётного порядка инволюций нет вовсе, и весь этот аппарат недоступен.

Доказательство

Walter Feit, John G. Thompson, «Solvability of Groups of Odd Order», Pacific Journal of Mathematics 13 (1963), с. 775–1029.

255 страниц. Статья заняла целиком весь номер журнала — случай в математической периодике беспрецедентный. На тот момент это была самая длинная статья в истории математики.

Предыстория: в 1959 году Томпсон в диссертации решил другую давнюю задачу ФробениусаФердинанд Фробениуснемецкий математик · 1849–1917За несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой. (о ядре группы Фробениуса), применив новую технику работы с локальным строением. Стало ясно, что метод может дать больше; Фейт присоединился, и они провели вместе несколько лет.

Структура доказательства (для ориентации):

1. От противного. Пусть существует простая неабелева группа нечётного порядка; возьмём минимальный контрпример — группу наименьшего порядка с этим свойством.
2. Локальный анализ. Изучаются нормализаторы $p$-подгрупп. Показывается, что группа обладает жёстко ограниченной внутренней структурой (значительная часть работы).
3. Теория характеров. Строятся «исключительные характеры»; техника «изометрий», позволяющая переносить характеры с подгрупп на всю группу.
4. Противоречие. Комбинируя ограничения, получают взаимоисключающие требования.

Комбинация локального анализа и характеров стала стандартным методом всей последующей классификации.

Формальная верификация. В 2012 году группа под руководством Жоржа Гонтье в Microsoft Research и INRIA завершила полную машинную проверку доказательства в системе Coq. Работа заняла шесть лет; формализованный текст содержит около 170 000 строк. Ошибок не найдено. Это одна из крупнейших верификаций математического доказательства в истории — и приятная точка для карты, показывающая, как выглядит проверка теорем в XXI веке.

Стартовый выстрел

Теорема Фейта — Томпсона открыла классификацию конечных простых групп — крупнейший коллективный проект в истории математики.

Задача. Перечислить все конечные простые группы. Простые группы — «атомы»: всякая конечная группа собирается из них (теорема ЖорданаКамиль Жорданфранцузский математик, инженер путей сообщения · 1838–1922Написал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным. — Гёльдера: композиционные факторы определены однозначно). Знать простые группы — значит знать «таблицу Менделеева» для конечных групп.

Программа. В 1972 году Даниэль Горенстейн на конференции в Чикаго изложил план из шестнадцати пунктов. Сроки, которые он назвал, казались фантастическими; проект был выполнен примерно за отведённое время.

Результат. Всякая конечная простая группа принадлежит одному из типов:

1. Циклические группы $\mathbb{Z}/p$ простого порядка (единственные абелевы);
2. Знакопеременные $A_{n}$ при $n\geqslant5$;
3. Группы лиева типа — 16 бесконечных семейств, аналоги групп Ли над конечными полями (ШеваллеКлод Шеваллефранцузский математик · 1909–1984Построил группы Ли над конечными полями — и тем выдал почти весь список конечных простых групп одной конструкцией., 1955; Стейнберг, Судзуки, Ри);
4. 26 спорадических групп, не входящих ни в одно семейство.

Масштаб. Около 10 000 журнальных страниц, свыше 500 статей, около 100 авторов, период 1955–2004.

Даты. Горенстейн объявил классификацию завершённой в 1983 году. Однако выяснилось, что один случай («квазитонкие группы») не был закрыт полностью. Честная дата — 2004 год, когда Майкл Ашбахер и Стивен Смит опубликовали два тома общим объёмом около 1200 страниц, закрывшие пробел.

Теорема, которую никто не может проверить

Здесь возникает эпистемологическая проблема, не имеющая аналогов в истории математики.

Ни один человек не читал доказательство целиком. Десять тысяч страниц технического текста, разбросанных по сотням статей за полвека, часть из которых опубликована в малодоступных изданиях, а часть — только в препринтах. Многие авторы умерли. Часть рассуждений известна лишь по устной традиции.

Отсюда два следствия:

1. Проект «второго поколения». Начатый Горенстейном, Лайонсом и Соломоном в 1980-х, он состоит в написании полного, связного, самодостаточного доказательства. Планировалось около 5000 страниц в двенадцати томах; на сегодня опубликовано порядка десяти томов, работа продолжается. Инициаторы проекта не дожили: Горенстейн умер в 1992-м.

2. Вопрос о доверии. Что значит «теорема доказана», если доказательство физически невместимо в одну голову? Специалисты в классификации уверены в результате; но эта уверенность имеет социальную, а не логическую природу — она основана на согласии экспертов, а не на проверяемости каждым.

Тот же вопрос встал с доказательством теоремы о четырёх красках (Аппель и Хакен, 1976, с компьютерным перебором) и с гипотезой КеплераИоганн Кеплернемецкий астроном и математик · 1571–1630Вывел законы движения планет из чужих наблюдений, посчитал объём винной бочки способом, из которого через полвека вырастет интеграл, и защищал мать на процессе о колдовстве. (Хейлз, 1998). Ответом отчасти служит формальная верификация: теорему о четырёх красках проверил Гонтье в Coq (2005), гипотезу Кеплера — проект Flyspeck (2014), теорему Фейта — Томпсона — Гонтье (2012). Полная классификация конечных простых групп для этого пока слишком велика.

Следующая точка: Москва — полторы страницы против двухсот пятидесяти пяти.