Основная теорема алгебры

Утверждение

Всякий многочлен степени $n\geqslant1$ с комплексными коэффициентами имеет по меньшей мере один комплексный корень.

Следствие (индукцией по степени, делением на $x-x_1$): многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ корней с учётом кратности и разлагается на линейные множители:

$$P(x) = a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots(x-x_{n}).$$

Иначе говоря: поле $\mathbb{C}$ алгебраически замкнуто. Расширяя числа от натуральных к целым, рациональным, вещественным и комплексным, мы на последнем шаге получаем систему, в которой процесс останавливается: новых корней искать больше негде.

Почему это было неочевидно

История расширений выглядела как бесконечная лестница. Уравнение $x+1=0$ требует отрицательных чисел, $2x=1$ — рациональных, $x^2=2$ — иррациональных, $x^2=-1$ — мнимых. Естественно было ждать, что $x^{5}=\ldots$ потребует чего-то нового, а дальше — ещё.

Утверждение, что лестница обрывается на комплексных числах, чрезвычайно сильно и совсем не следует ни из чего очевидного.

Предыстория

• Жирар (1629) высказывает утверждение о $n$ корнях.
• ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. (1637) формулирует близко.
• ДаламберЖан Лерон Даламберфранцузский математик, механик и энциклопедист · 1717–1783Подкидыш с паперти, ставший соредактором «Энциклопедии»; вывел уравнение колеблющейся струны — и начал спор, из которого через сто лет вышло понятие функции. (1746) даёт первое серьёзное доказательство. Оно опирается на утверждение о поведении алгебраических функций вблизи особых точек, которое строго обосновано только в XX веке (лемма Пюизё). Во французской традиции теорему до сих пор называют теоремой Даламбера — ГауссаКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию..
• ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. (1749), ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. (1772), ЛапласПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. (1795) дают доказательства с разными пробелами. Общий недостаток: все они предполагают, что корни где-то существуют, и доказывают лишь, что они имеют вид $a+bi$. Гаусс это заметил и раскритиковал прямо в диссертации.

Диссертация 1799 года

Гауссу двадцать два года. Диссертация «Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse» (Хельмштедтский университет, руководитель Иоганн Фридрих Пфафф) — «Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одного переменного может быть разложена на вещественные множители первой или второй степени».

Заметьте: комплексных чисел в формулировке нет. Гаусс, ещё осторожничая с мнимыми величинами, формулирует всё в вещественных терминах — разложение на линейные и квадратичные множители. Это эквивалентно.

Идея его доказательства. Пишем $z=x+iy$ и разделяем многочлен на вещественную и мнимую части:

$$P(x+iy) = U(x,y)+iV(x,y),$$

где $U$ и $V$ — вещественные многочлены двух переменных. Корень $P$ — это общая точка кривых $U=0$ и $V=0$ на плоскости.

Гаусс исследует, как эти кривые ведут себя на большой окружности радиуса $R$. При больших $R$ многочлен ведёт себя как старший член $a_nz^n$, и кривые $U=0$, $V=0$ пересекают окружность в $2n$ точках каждая, причём точки чередуются. Дальше геометрическое рассуждение: кривые, входящие внутрь круга в чередующемся порядке, обязаны где-то пересечься.

Пробел — именно здесь. Утверждение «кривая, вошедшая в круг, должна из него выйти, и две такие кривые с чередующимися концами обязаны пересечься» интуитивно очевидно, но топологически нетривиально: алгебраические кривые могут вести себя сложно, ветвиться и иметь особенности. Строгое обоснование дал Александр Островский в 1920 году — через 121 год.

Так что честная формулировка: доказательство Гаусса 1799 года содержит топологический пробел, который был закрыт значительно позже, но идея верна и доказательство считается первым по-настоящему серьёзным.

Четыре доказательства

Гаусс возвращался к теореме всю жизнь:

Год	Метод
1799	Топологический (диссертация)
1815	Почти чисто алгебраический: сведение к вещественному случаю + теорема о симметрических функциях + теорема о промежуточном значении
1816	Аналитический, через оценку интеграла; первое безупречное по современным меркам
1849	Переработка доказательства 1799 года к пятидесятилетию докторской степени, уже с явным использованием комплексных чисел

Второе доказательство (1815) особенно интересно, потому что оно почти алгебраическое: из анализа используется только теорема о промежуточном значении, гарантирующая, что вещественный многочлен нечётной степени имеет вещественный корень.

Ирония названия

Заголовок этой точки в исходной версии заканчивался замечанием, что «основная теорема алгебры» — по существу теорема анализа. Это верно, и стоит объяснить почему.

Никакое чисто алгебраическое доказательство невозможно — и это не техническая трудность, а принципиальное обстоятельство. Дело в том, что само поле $\mathbb{R}$ определяется не алгебраически: его отличает от, скажем, поля алгебраических чисел свойство полноты (всякое сечение производится числом; всякая фундаментальная последовательность сходится). А полнота — понятие анализа.

Любое доказательство обязано в какой-то момент использовать хотя бы теорему о промежуточном значении для вещественных многочленов, а она равносильна полноте $\mathbb{R}$.

Точная граница установлена теорией Артина — Шрайера (1927): если поле $F$ таково, что $-1$ не есть сумма квадратов (формально вещественное) и удовлетворяет свойству промежуточного значения для многочленов, то $F[i]$ алгебраически замкнуто. То есть минимальная порция анализа, необходимая для основной теоремы алгебры, — ровно теорема о промежуточном значении, и меньше не бывает.

Современные доказательства

Полезно знать, что их много и все из разных областей:

• Комплексный анализ: теорема ЛиувилляЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их.. Если $P$ не имеет корней, то $1/P$ — целая ограниченная функция, значит постоянная, значит $P$ постоянен. Три строки — самое короткое известное доказательство.
• Топология: степень отображения. Образ окружности $|z|=R$ при отображении $P$ обходит нуль $n$ раз при больших $R$ и не обходит вовсе при $R\to0$; непрерывная деформация не может изменить целое число обходов, значит где-то $P$ обращается в нуль.
• Алгебра + анализ: доказательство Гаусса 1815 года, доработанное АртиномЭмиль Артинавстрийский и американский математик · 1898–1962Доказал общий закон взаимности — центральную теорему теории полей классов, — придумал группы кос и вместе с ван дер Варденом ввёл в обиход тот способ излагать алгебру, которым её излагают до сих пор., через теорию ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. и силовские подгруппы.
• Анализ: минимум $|P(z)|$ достигается (по компактности) и равен нулю (лемма д'Аламбера).

Следующая точка: Париж — ночь, изменившая математику.