Карта → событие
Абель: формулы не существует
Что именно надо было доказать
После 1545 года («Ars Magna») степени до четвёртой решены. Все ожидали, что пятая поддастся; над ней работали ЭйлерЛеонард ЭйлерСамый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя., Безу, Вандермонд, ЛагранжЖозеф Луи ЛагранжНаписал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней., ГауссКарл Фридрих Гаусс«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию., Руффини.
Различие, которое надо отчётливо понимать. Речь не о том, что у уравнения пятой степени нет корней: по основной теореме алгебры их ровно пять. Речь о том, что их нельзя выразить формулой из коэффициентов посредством $+,-,\times,\div$ и извлечения корней любых степеней.
Это утверждение о невозможности, и такие утверждения принципиально труднее: надо охватить все мыслимые формулы разом.
Лагранж и подступы
Лагранж (1770–71) первым понял, где проблема (см. точку о Галуа): все методы решения опираются на резольвенту — функцию от корней, принимающую мало значений при перестановках. Для степеней 2, 3, 4 это работает; для 5 естественная резольвента даёт уравнение шестой степени.
Лагранж заподозрил невозможность, но доказать не смог.
Паоло Руффини (Модена, 1799) опубликовал доказательство объёмом 516 страниц. Его почти никто не прочёл; Лагранж не ответил на присланный экземпляр. Кроме того, в доказательстве был пробел: Руффини неявно предполагал, что радикалы, входящие в предполагаемую формулу, суть рациональные функции корней. Это верно (теорема Абеля о естественной иррациональности), но требует доказательства, которого у Руффини не было.
Абель
Нильс Хенрик Абель (1802–1829) — второй из семи детей бедного норвежского пастора. Отец умер, когда Нильсу было восемнадцать, оставив семью в нищете; учитель гимназии Бернт Хольмбоэ, распознав дарование, добился для него стипендии и содержал отчасти из своего кармана.
Первая попытка. В 1821 году девятнадцатилетний Абель решил, что нашёл формулу для уравнения пятой степени. Работу послали в Копенгаген Фердинанду Дегену. Деген не нашёл ошибки, но попросил разобрать конкретный числовой пример — и на этом Абель обнаружил ошибку сам.
Эпизод стоит рассказывать школьникам: правильный совет рецензента («проверьте на примере») сделал больше, чем поиск ошибки в тексте.
Вторая попытка — с обратным знаком. Абель заподозрил, что формулы не существует, и в 1823–24 годах доказал это.
Брошюра
«Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré», Христиания, 1824.
Шесть страниц. Напечатана за собственный счёт, тиражом в несколько десятков экземпляров, для рассылки европейским математикам.
Денег было настолько мало, что Абель сжал изложение до предела, выбросив пояснения и промежуточные шаги. Результат предсказуем: работу почти невозможно понять. Гаусс, получив экземпляр, по преданию, отложил его не читая (сохранился неразрезанный экземпляр в его библиотеке, хотя атрибуция этого эпизода спорна).
Полную версию с доказательствами Абель напечатал в 1826 году, в первом томе только что основанного журнала Крелле — где он стал главным автором и другом издателя.
Идея доказательства
Изложу схему, поскольку она красива и не требует теории Галуа (которой в 1824 году не было).
Шаг 1. Предположим, что корень выражается радикалами. Тогда существует «башня»
$$\mathbb{Q}(a_{0},\ldots,a_{4}) = F_{0}\subset F_{1}\subset\cdots\subset F_{m},$$
где каждый следующий этаж получен присоединением корня: $F_{i+1}=F_{i}\left(\sqrt[p]{c}\right)$, и корень уравнения лежит в $F_m$.
Шаг 2 (теорема о естественной иррациональности). Абель доказывает: все радикалы, входящие в выражение, суть рациональные функции от корней уравнения $x_1,\ldots,x_5$ и корней из единицы. Это ровно тот пробел, который был у Руффини.
Шаг 3. Теперь можно исследовать, как радикалы ведут себя при перестановках корней. Каждая рациональная функция от $x_1,\ldots,x_5$ при перестановках принимает какое-то число значений.
Шаг 4 (теорема Коши — Руффини). Функция от пяти переменных, принимающая менее пяти значений при перестановках, принимает одно или два значения (то есть либо симметрична, либо меняется лишь знаком — как дискриминант).
Промежуточных возможностей нет — и в этом всё дело. Для четырёх переменных существует функция с тремя значениями (она и даёт резольвенту Феррари); для пяти такой нет.
Шаг 5. Комбинируя, Абель показывает: башня радикалов не может привести к корню. Противоречие. $\blacksquare$
Современный перевод. Шаг 4 равносилен утверждению, что $A_{5}$ — простая группа: у неё нет нормальных подгрупп, а значит и подгрупп индекса 3 или 4, которые дали бы функции с тремя или четырьмя значениями. Абель, разумеется, слова «группа» не употреблял.
Что осталось ГалуаЭварист ГалуаЗа двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью.
Абель ответил на вопрос «можно ли решить общее уравнение пятой степени?» — нет.
Остался вопрос «какие конкретные уравнения решаются?» Ведь $x^{5}-2=0$ решается элементарно, а $x^{5}-6x+3=0$ — нет.
На него ответит Галуа: критерий — разрешимость группы уравнения. Абель дал результат; Галуа дал теорию.
Стоит отметить, что Абель к этому подходил: в работах 1828–29 годов он исследовал уравнения, группа которых коммутативна, и доказал их разрешимость. Именно поэтому коммутативные группы называются абелевыми (термин ввёл ЖорданКамиль ЖорданНаписал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным.).
Судьба
- 1825–27 — поездка по Европе на казённую стипендию. Берлин: дружба с Крелле, работы в его журнале. Париж: поданный в Академию «Парижский мемуар» (об абелевых интегралах) попадает к КошиОгюстен Луи КошиПервым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. и теряется; найден только в 1841 году. Абеля в Париже не замечают.
- 1828 — возвращение домой без должности; жизнь на частных уроках и долгах.
- 6 апреля 1829 — смерть от туберкулёза в возрасте 26 лет, в поместье Фроланн, где он гостил у невесты.
- 8 апреля 1829 — приходит письмо Крелле: для Абеля получена кафедра в Берлине. Через два дня после смерти.
Посмертно: Большая премия Парижской академии (1830, совместно с ЯкобиКарл Густав ЯкобиСоперничал с Абелем в теории эллиптических функций и придумал вместе с Бесселем вещь, изменившую науку сильнее любой теоремы, — исследовательский семинар.); Абелевская премия, учреждённая Норвегией в 2002 году к двухсотлетию, — сегодняшний аналог Нобелевской для математики.
ЭрмитуШарль ЭрмитДоказал трансцендентность числа $e$ — и отказался браться за $\pi$, сказав, что не рискнёт; через девять лет это сделал Линдеман тем же методом. приписывают фразу о том, что Абель оставил математикам работы на пятьсот лет вперёд.