Безу: три теоремы под одним именем

Экзаменатор

Этьен Безу (1730–1783) с 1758 года академик, но главное его занятие последние двадцать лет жизни — экзамены. С 1763 года он экзаменует гардемаринов, с 1768-го — артиллеристов.

Для них он и написал шеститомный «Курс математики для гвардейцев морского флота» (1764–1769) — учебник, по которому училась французская военная школа, а в переводах и половина Европы с Америкой.

Совпадение с предыдущей точкой полное: Ньютон тоже попал в историю школьной алгебры через лекции, писавшиеся по служебной надобности, и тоже не считал это своим главным делом.

Первая теорема: об остатке

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен $P(a)$.

Доказательство помещается в строку. Разделим с остатком:

$$P(x)=(x-a)\,Q(x)+r .$$

Остаток при делении на многочлен первой степени — константа. Подставим $x=a$: первое слагаемое обращается в нуль, и $P(a)=r$. $\blacksquare$

Ради следствия всё и затевалось:

Число $a$ — корень многочлена $P$ тогда и только тогда, когда $P$ делится на $x-a$.

Отсюда весь школьный приём работы с кубическим уравнением: подобрать корень среди делителей свободного члена, разделить на $x-a$, получить квадратный трёхчлен и добить его дискриминантом.

Вторая теорема: соотношение

Для любых двух многочленов $u$ и $v$ найдутся такие $s$ и $t$, что
$$su+tv=\gcd(u,v).$$

Это соотношение Безу, и во французской традиции théorème de Bézout — именно оно.

Для целых чисел то же самое было напечатано за полтора века до него: Баше де Мезириак, 1624 год. Безу перенёс утверждение на многочлены — и на них оно доказывается тем же алгоритмом Евклида, только вместо остатков от деления чисел берутся остатки от деления многочленов.

Третья теорема: о пересечении

Две алгебраические кривые степеней $m$ и $n$ пересекаются ровно в $mn$ точках — если считать точки с кратностями, в комплексной проективной плоскости.

Это главный научный результат Безу, из «Общей теории алгебраических уравнений» (1779). В алгебраической геометрии «теорема Безу» означает только его.

На нашей карте она уже встречалась: в точке о Понселе из неё выводится, что две окружности всегда имеют четыре общие точки, — просто две из них мнимые, и это те самые циклические точки, на которых стоит проективная геометрия.

Какая же из них «теорема Безу»

Где	Что называют теоремой Безу
Русская школа	остаток от деления на $x-a$
Французская традиция	соотношение $su+tv=\gcd$
Алгебраическая геометрия	$mn$ точек пересечения
Английская школа	никак: polynomial remainder theorem, без имени

Ученику, который полез искать «теорему Безу» за пределами учебника, стоит об этом сказать заранее — иначе он найдёт не то и решит, что чего-то не понял.

И ещё одно, для полноты. Теорему об остатке по существу знал ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор.: в «Геометрии» 1637 года сказано, что многочлен делится на $x-a$ тогда и только тогда, когда $a$ — корень. Безу изложил это в ходовом учебнике, и в русской традиции имя закрепилось за ним.

Схема Горнера

Осталось научиться делить на $x-a$ быстро. Приём известен как схема Горнера.

Возьмём $P(x)=2x^{3}-6x^{2}+2x-1$ и разделим на $x-3$. Выпишем коэффициенты в строку и будем идти слева направо: сносим первый, а каждый следующий получаем как «предыдущий результат умножить на $3$ и прибавить очередной коэффициент».

	$2$	$-6$	$2$	$-1$
$a=3$	$2$	$3\cdot2-6=0$	$3\cdot0+2=2$	$3\cdot2-1=5$

Нижняя строка читается так: частное равно $2x^{2}+0\cdot x+2$, остаток равен $5$. А по теореме Безу этот остаток и есть $P(3)$ — проверьте: $54-54+6-1=5$.

Одна и та же таблица делает сразу два дела: делит многочлен и вычисляет его значение.

Сколько это стоит. Если считать $P(a)$ в лоб, возводя $a$ в степень заново для каждого слагаемого, уйдёт порядка $n^{2}/2$ умножений. По схеме Горнера — ровно $n$. Для многочлена десятой степени это пятьдесят пять умножений против десяти.

Вопрос «сколько умножений стоит вычисление» — сквозной сюжет линии «Искусство счёта»: там его задают Карацуба про умножение чисел и Штрассен про умножение матриц. Схема Горнера — самый ранний ответ такого рода, попавший в школьную программу. И он окончательный: доказано, что меньше $n$ умножений не хватит.

Кто такой Горнер

Никто, и в этом всё дело.

Уильям Джордж Горнер (1786–1837) — школьный учитель, державший частную школу в Бристоле. Приём он опубликовал в 1819 году.

К тому моменту у приёма была долгая история. Цинь Цзюшао в Китае описал его в 1247 году — за пять с половиной веков до Горнера, и в куда более общем виде, для корней любой степени. Паоло Руффини напечатал его в 1804-м, за пятнадцать лет до. В русской традиции иногда говорят «схема Руффини — Горнера», что справедливее ровно наполовину.

Имя закрепилось за англичанином потому, что его заметку прочитали в Англии, а оттуда она разошлась по учебникам.

Следующая точка: Хельмштедт — сколько же у уравнения корней.