Ньютон: «Всеобщая арифметика»

Лекции, которые автор не хотел печатать

С 1669 года НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. — лукасовский профессор математики в Кембридже. Должность обязывала: профессор читает лекции и сдаёт их текст в университетскую библиотеку. Ньютон читал алгебру с 1673 по 1683 год и рукопись сдал.

В 1702 году кафедру занял Уильям Уистон, и в 1707-м он издал эти лекции под названием «Arithmetica universalis» — «Всеобщая арифметика». Имени автора на титуле не было: Ньютон издания не одобрил и своё имя ставить не позволил. Рассказывают, что, узнав о выходе книги, он собирался скупить и уничтожить тираж.

Причина не в скромности. К старости Ньютон считал алгебру ремеслом низшего разряда по сравнению с геометрией древних — и говорил об этом прямо в самой книге по алгебре. Уравнения, писал он, суть выражения арифметического счёта и в геометрии им, собственно, не место.

Ирония в том, что в XVIII веке «Всеобщая арифметика» оказалась самой читаемой его математической книгой. «Математические начала» уважали и почти не читали — слишком трудно; а по «Арифметике» учились.

Формулы Ньютона: степенные суммы

Пусть у многочлена $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}$ корни $x_{1},\ldots,x_{n}$, и обозначим

$$p_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k}$$

— сумму $k$-х степеней корней. Ньютон выписывает соотношения, позволяющие считать эти суммы, не находя самих корней:

$$p_{k}+a_{1}p_{k-1}+a_{2}p_{k-2}+\cdots+a_{k-1}p_{1}+k\,a_{k}=0 .$$

Школьный случай — квадратное уравнение $x^{2}+px+q=0$. При $k=1$ получаем $p_{1}=-p$ — это формула Виета. При $k=2$:

$$p_{2}+p\,p_{1}+2q=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=p^{2}-2q .$$

Ровно та задача, которая стоит в девятом классе: найти сумму квадратов корней, не решая уравнения. И то же самое для кубов, четвёртых степеней и дальше — рекуррентно, по одной строке на степень.

Здесь стоит увидеть общую мысль. Виет показал, что через коэффициенты выражаются симметрические функции корней. Ньютон даёт способ считать конкретные симметрические функции — и тем превращает наблюдение в инструмент.

Целые корни делят свободный член

Второе правило из книги — то, с которого начинается решение любого кубического уравнения в школе.

Если многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом $1$ имеет целый корень $a$, то $a$ делит свободный член.

Доказательство школьное: подставим корень и перенесём свободный член направо — слева всё делится на $a$.

Отсюда приём: выписать делители свободного члена, перебрать их, найти корень. А дальше — понизить степень делением, и кубическое уравнение превращается в квадратное.

Общее правило для рациональных корней — если несократимая дробь $p/q$ есть корень, то $p$ делит свободный член, а $q$ старший — это то же рассуждение, доведённое до конца; оно оформится позже.

Правило знаков и правило Ньютона

Третье. ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. в «Геометрии» (1637) заметил:

Число положительных корней многочлена не превосходит числа перемен знака в ряду его коэффициентов и отличается от него на чётное число.

Доказательства он не привёл. Ньютон в «Арифметике» идёт дальше и даёт своё правило — оценку снизу для числа мнимых корней, — и тоже без доказательства.

С доказательствами вышло долго: правило знаков Декарта строго обосновали только в XIX веке, а правило Ньютона о мнимых корнях доказал Сильвестр в 1865 году — через полтора века после публикации.

Заодно: почему «бином Ньютона»

Название это стоит разобрать, потому что оно сбивает с толку.

Формула

$$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$

для натурального $n$ была известна задолго до Ньютона: она есть у аль-Караджи около 1000 года, у Цзя Сяня в Кайфыне, у Паскаля. Ньютону она не принадлежит.

Ньютону принадлежит другое — обобщение на любой показатель: ряд для $(1+x)^{\alpha}$, где $\alpha$ может быть дробным или отрицательным. Он получил его в 1665 году, интерполируя таблицы Валлиса, — и эта история рассказана в точке о Валлисе.

А имя закрепилось за школьной формулой, то есть за тем, чего он не делал. На этой карте имена достаются не тем постоянно; здесь случай особый — имя досталось правильному человеку, но за соседнюю работу.

Следующая точка: Париж — где одно имя достанется сразу трём разным теоремам, и в школе выучат не ту, что в университете.