Виет: буквы вместо чисел

Исправление географии

Исходная версия указывает Париж. «In artem analyticem isagoge» напечатана в Туре королевским печатником Жаме Метейе (Jamet Mettayer) в 1591 году. Причина не случайная: шла последняя фаза религиозных войн, Париж с 1588 года удерживала Католическая лига, и двор Генриха IV вместе с королевской типографией находился в Туре. Париж король возьмёт только в марте 1594-го.

Так что для карты правильнее Тур, а не Париж. (Слаг viete-paris можно оставить ради обратной совместимости ссылок, но поле «место» стоит поправить.)

Человек

Франсуа Виет (1540–1603) — по профессии юрист, советник парламента Бретани, затем королевский тайный советник при Генрихе III и Генрихе IV. Математика была для него занятием в свободное время, но занятием исступлённым: современники рассказывали, что он мог просидеть над задачей трое суток, не вставая.

Криптография. Виет вскрывал испанскую дипломатическую переписку — шифр из нескольких сотен знаков, считавшийся невзламываемым. Успех был настолько полным, что Филипп II, по преданию, пожаловался папе римскому на применение французами колдовства. История передаётся во всех биографиях; документальная её основа — реакция испанской стороны на утечки, а не сохранившееся папское разбирательство, так что степень достоверности деталей стоит держать в уме.

Что именно он сделал

Здесь важно понять, в чём не состояла новизна. Буквы для неизвестного использовали и до Виета: у ДиофантаДиофант Александрийскийгреческий математик · около III века н. э.Первым стал решать уравнения в целых числах и первым ввёл сокращённые обозначения вместо слов — и задал вопрос, на который отвечали до 1994 года. $\varsigma$, у Иордана Неморария, у Штифеля. Новшество Виета:

Буквами обозначаются также известные величины — коэффициенты.

$$\text{гласные } A, E, I, O, U \;\longrightarrow\; \text{неизвестные}, \qquad \text{согласные } B, C, D, F, G \;\longrightarrow\; \text{параметры}.$$

Кажется мелочью. На деле это смена предмета алгебры.

До Виета можно было записать (и решить) задачу «$x^2+10x=39$». После Виета можно записать «$A^2+BA=C$» — то есть все квадратные уравнения сразу, и рассуждать о них как об одном объекте. Появляется возможность говорить о виде уравнения, о преобразованиях, переводящих один вид в другой, о зависимости корней от коэффициентов.

Сам Виет называл своё изобретение logistica speciosa («исчисление видов») в противоположность logistica numerosa («исчислению чисел»). Термин точен: предметом становится форма, а не значение.

И он же сформулировал программу, которой суждено было сбыться, закончив «Введение» девизом:

Nullum non problema solvere — «Не оставить нерешённой ни одной задачи».

Как это выглядело: закон однородности

Записи Виета читаются с непривычки тяжело, и виной тому закон однородности (lex homogeneorum), от которого он не смог отказаться: складывать можно только величины одной размерности. Длину нельзя прибавить к площади.

Поэтому уравнение $x^{3}+3ax=b$ у Виета выглядит примерно так:

A cubus + B plano 3 in A aequatur D solido

То есть: «куб от $A$ плюс трижды $B$-плоскость, умноженная на $A$, равно $D$-телу». Коэффициент при $A$ обязан быть «плоским» (двумерным), свободный член — «телесным» (трёхмерным), чтобы все слагаемые были трёхмерны.

Это греческое наследие, и оно связывало Виету руки: степени выше третьей приходилось называть «плоско-плоскими» и «плоско-телесными», а сама запись оставалась громоздкой. Освободит алгебру от размерностей ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор., попросту объявив, что $a^2$ — это число, а не площадь.

Формулы Виета

Самый известный результат, и он прямо следует из новой символики.

Если многочлен $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}$ имеет корни $x_1,\ldots,x_n$, то он раскладывается как $(x-x_1)\cdots(x-x_n)$, и раскрытие скобок даёт:

$$\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} &= -a_{1},\\ \sum_{i<j}x_{i}x_{j} &= a_{2},\\ \sum_{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k} &= -a_{3},\\ &\ \vdots\\ x_{1}x_{2}\cdots x_{n} &= (-1)^{n}a_{n}. \end{aligned}$$

Для квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ это школьное $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.

Обратите внимание на структуру: слева стоят элементарные симметрические многочлены от корней. Симметрические — значит не меняющиеся при любой перестановке корней. Отсюда прямая дорога к главному вопросу теории Галуа: какие ещё функции от корней выражаются через коэффициенты? Ответ («ровно симметрические») — основная теорема о симметрических многочленах, а изучение несимметрических приведёт ЛагранжаЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. к резольвентам, а ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. — к группам.

Сам Виет сформулировал соотношения только для положительных корней (отрицательных он, как и все, не признавал); в полной общности их записал Жирар (1629), а доказал НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику..

Прочее у Виета

• Первое в истории бесконечное произведение (1593), выражающее $\pi$:
  $$\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\cdots$$
  Выводится удвоением числа сторон вписанного многоугольника и тождеством $\sin x = 2\sin\frac x2\cos\frac x2$. Это первая в математике формула, содержащая бесконечный процесс в явном виде — стык с линией анализа (см. точку о Валлисе в линии анализа).
• Тригонометрическое решение неприводимого случая кубического уравнения: подстановка $t=2\sqrt{-p/3}\cos\theta$ сводит $t^3+pt+q=0$ к формуле для косинуса тройного угла, и все три вещественных корня выражаются через косинусы — без мнимых чисел. Красивый обход препятствия из точки о Кардано.
• Задача Адриана ван Роомена (1593): бельгийский математик бросил вызов всем французским математикам, предложив уравнение 45-й степени. Виет решил его за считанные минуты, опознав в нём уравнение на $\sin\frac{\theta}{45}$, и нашёл двадцать три положительных корня. (Отрицательные, по обыкновению, отбросил.) Ван Роомен приехал в Париж знакомиться.

Декарт достраивает

Современный вид записи придаёт Рене Декарт в «Геометрии» (приложение к «Рассуждению о методе», Лейден, 1637):

• $x, y, z$ — неизвестные (последние буквы алфавита), $a, b, c$ — известные (первые);
• показатели степени в виде надстрочных цифр: $x^3$ вместо A cubus;
• отказ от закона однородности: величины — просто числа;
• знак $\sqrt{\ }$ с чертой над подкоренным выражением.

Из привычной нам записи отсутствует, по существу, только знак равенства (Декарт использовал собственный символ ∝; современное «=» ввёл Роберт Рекорд ещё в 1557 году, но оно приживалось долго) и обозначение отрицательных показателей (Ньютон, 1676).

Мы пишем уравнения так, как научил Декарт, — уже 389 лет без изменений. Едва ли в математике есть более устойчивая конвенция.

Почему нотация — это содержание

Стоит проговорить прямо, потому что для школьника это неочевидно.

Сравните запись задачи из точки о Вавилоне («площадь и сторону моего квадрата я сложил») с $x^2+x=\frac34$. Второе не просто короче — оно позволяет с собой работать: переносить члены, сравнивать с другими уравнениями, подставлять, обобщать. Хорошая нотация выполняет часть мышления за нас.

Три тысячи лет между Вавилоном и Виетом — это в основном не отсутствие идей, а отсутствие способа их записать. За полтора века после Виета алгебра прошла дальше, чем за предыдущие три тысячелетия.

Следующая точка: Москва — страна обзаводится учебником.