Европа · ответ на вызов Адриана ван Роомена, 1593
Уравнение сорок пятой степени
Как звучало тогда
Ван Роомен предложил всем математикам мира уравнение сорок пятой степени. Виет, взглянув на него, увидел решение немедленно и в тот же день дал два корня, а назавтра — остальные.
Условие
Ван Роомен предложил уравнение вида $45y-3795y^3+95634y^5-\ldots+y^{45}=C$. Виет заметил, что левая часть есть в точности выражение $2\sin 45\alpha$ через $y=2\sin\alpha$. Как отсюда получить все корни?
Показать ответ
подставить $y=2\sin\alpha$; тогда $2\sin45\alpha=C$, откуда $\alpha=\frac{1}{45}\arcsin\frac{C}{2}$, и корни суть $y_k=2\sin\left(\alpha+\frac{2\pi k}{45}\right)$
О чём эта задача
Числового ответа здесь нарочно нет: коэффициенты у ван Роомена шестизначные, и выписывать «корень» значило бы сочинять. Предмет задачи — приём. Виет увидел в чудовищном многочлене формулу синуса кратного угла, потому что $45=9\cdot5$, а формулы для утроения и упятерения он знал наизусть. Мораль, которую стоит сказать классу: подстановка, превращающая алгебру в тригонометрию, экономит больше, чем любые вычисления. Посрамлённый ван Роомен приехал в Париж знакомиться и остался другом.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.