Карта → событие
Хайям: четырёхугольники против постулата
Кто и где
Гияс ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хайям (1048–1131) известен русскому читателю прежде всего как поэт — по четверостишиям-рубаи, большая часть которых, скорее всего, ему не принадлежит. Между тем современники знали его как математика и астронома.
В 1074 году сельджукский султан Малик-шах и его визирь Низам ал-Мульк пригласили Хайяма возглавить обсерваторию в Исфахане. Восемнадцать лет там были самыми плодотворными в его жизни: он руководил составлением календаря Джалали, в котором продолжительность года принята равной 365,24219858156 суток. Ошибка такого календаря — около суток за 5000 лет; григорианский, введённый пятью веками позже, ошибается на сутки за 3300 лет.
Важное уточнение по географии. Главный алгебраический труд Хайяма — «Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы», где кубические уравнения решаются пересечением конических сечений, — написан раньше и в Самарканде (см. отдельную точку в линии алгебры). А вот геометрический трактат «Шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис» («Комментарии к трудностям во введениях книги ЕвклидаЕвклидАвтор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего.») завершён в Исфахане в конце декабря 1077 года. Поэтому две точки Хайяма на карте стоят в разных городах — это не ошибка.
Четырёхугольник
Хайям строит фигуру, которая сегодня чаще называется четырёхугольником СаккериДжованни СаккериВывел десятки теорем неевклидовой геометрии, пытаясь довести её до противоречия, — и, не найдя противоречия, объявил, что нашёл., хотя появилась она на 656 лет раньше. Возьмём отрезок $AB$, восставим в его концах перпендикуляры равной длины $AD=BC$ и соединим $D$ с $C$.
Утверждение 1. Углы при вершине равны: $\angle ADC=\angle BCD$.
Доказательство работает в абсолютной геометрии, то есть без пятого постулата. Соединим $AC$ и $BD$. Треугольники $ABD$ и $BAC$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AB$ общая, $AD=BC$, углы при $A$ и $B$ прямые), значит $BD=AC$. Теперь треугольники $ACD$ и $BDC$ равны по трём сторонам ($CD$ общая, $AD=BC$, $AC=BD$), откуда $\angle ADC=\angle BCD$. $\blacksquare$
Дальше — три взаимоисключающие возможности:
| Гипотеза | Верхние углы | Сумма углов треугольника | Кривизна | Геометрия |
|---|---|---|---|---|
| прямого угла | $=90^\circ$ | $=180^\circ$ | $0$ | евклидова |
| тупого угла | $>90^\circ$ | $>180^\circ$ | $>0$ | сферическая |
| острого угла | $<90^\circ$ | $<180^\circ$ | $<0$ | ЛобачевскогоНиколай Иванович ЛобачевскийПервым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. |
Утверждение 2. Гипотеза прямого угла равносильна пятому постулату. Если верхние углы прямые, четырёхугольник — прямоугольник; а существование хотя бы одного прямоугольника, как мы видели у Евклида, равносильно пятому постулату.
Утверждение 3. Гипотеза, верная для одного четырёхугольника, верна для всех. Это уже нетривиально и будет полностью доказано только Саккери и ЛежандромАдриен Мари ЛежандрПервым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс.. Отсюда важнейшее следствие: выбор геометрии не локален. Нельзя, чтобы в одном месте пространства сумма углов была $180^\circ$, а в другом — меньше; либо везде одно, либо везде другое.
Где Хайям остановился
Разобрав случаи, Хайям отвергает тупоугольный и остроугольный. Тупоугольный — сравнительно законно: он опирается на неограниченную продолжаемость прямой (второй постулат), а на сфере большие круги замкнуты, и «прямая» имеет конечную длину. Ошибки здесь нет, есть неявное допущение, которое станет явным только у РиманаБернхард РиманПрожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики..
С остроугольным случаем хуже. Хайям вводит утверждение, которое приписывает Аристотелю (в литературе его называют «принципом Хайяма»):
Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения.
Иначе говоря: если две прямые сближаются, они обязаны встретиться. Звучит очевидно — и именно поэтому опасно. В геометрии Лобачевского две прямые могут сближаться неограниченно и никогда не пересечься (асимптотически параллельные прямые); расстояние между ними стремится к нулю, но не достигает его. Принцип Хайяма — очередная маскировка пятого постулата.
Его вердикт по остроугольной гипотезе — «отвратительна» — это философская, а не математическая оценка. И в этом весь сюжет двух тысячелетий: математика раз за разом выводила из отрицания постулата верные теоремы, а останавливалась там, где начиналась привычка.
Что осталось за кадром
Вторая и третья части того же трактата посвящены теории отношений. Хайям критикует определение равенства отношений по ЕвдоксуЕвдокс КнидскийПридумал, как сравнивать несоизмеримые величины, и метод, которым две тысячи лет считали площади, — обе идеи вернулись в XIX веке почти без изменений. (V книга «Начал») как слишком косвенное и предлагает подход через непрерывные дроби — вычислять отношение последовательным взаимным вычитанием и сравнивать полученные последовательности. По существу это шаг к пониманию отношения как числа, а не как соотношения величин, — то есть к вещественному числу. Ту же дорогу пройдут СтевинСимон СтевинУбедил Европу считать десятичными дробями и первым сказал, что иррациональное отношение — такое же число, как всякое другое., а затем Дедекинд.
Мысль Хайяма о том, что «между алгеброй и геометрией нет пропасти», проведена им дважды: в алгебре он решает уравнения геометрически, в геометрии измеряет отношения численно. Это очень ранняя формулировка программы, которую в XVII веке выполнит ДекартРене ДекартСоединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор..
Задача. В четырёхугольнике Хайяма — Саккери с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AD=BC$ докажите, что средняя линия (отрезок, соединяющий середины $AB$ и $DC$) перпендикулярна обеим этим сторонам, — и что это верно во всех трёх геометриях.
(Указание: используйте симметрию относительно этой средней линии; равенство треугольников устанавливается по трём сторонам и не требует пятого постулата.)
Следующая точка: Марага — где осаду постулата поведёт целая обсерватория, а её результат через триста лет попадёт в руки европейцев в искажённом виде.