Ислам · Ибн аль-Хайсам, «Об измерении параболического тела»
Сумма четвёртых степеней
Условие
Найти $1^4+2^4+3^4+4^4+5^4$ и проверить на этом примере формулу $\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$.
Показать ответ
979; формула даёт то же
О чём эта задача
Суммы степеней понадобились Ибн аль-Хайсаму не сами по себе: он вычислял объём тела, полученного вращением параболы, — то, что мы делаем интегралом. Сложить квадраты умели до него, кубы тоже; четвёртые степени понадобились впервые. Доказывал он рассуждением, которое переходит от $n$ к $n+1$, то есть индукцией без её имени, и его выкладка — одно из самых ранних приближений к интегрированию. Заметим, что множитель $3n^2+3n-1$ не угадывается: формулы для сумм степеней перестают быть простыми ровно с четвёртой.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.