Фалес: первое доказательство

Что известно и откуда

Ни одной строки Фалеса не сохранилось. Всё, что мы знаем, идёт через посредников, отделённых от него столетиями: Прокл (V в. н. э.) в комментарии к первой книге «Начал» ссылается на утраченную «Историю геометрии» Евдема Родосского (IV в. до н. э.), ученика АристотеляАристотельгреческий философ · 384–322 до н. э.Не был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы.. Отдельный сюжет — у Диогена Лаэртского (III в. н. э.), который ссылается на Памфилу: узнав, что угол, вписанный в полуокружность, прям, Фалес будто бы принёс в жертву быка.

Историки относятся к этим свидетельствам осторожно: они поздние, тенденциозные (грекам было важно иметь «первого геометра») и местами противоречивы. Поэтому корректная формулировка такая: не «Фалес доказал», а «античная традиция считала Фалеса первым, кто доказывал». Для нашей карты важно именно это — момент, когда появляется сама идея.

Евдем через Прокла приписывает Фалесу пять утверждений:

1. диаметр делит круг пополам;
2. углы при основании равнобедренного треугольника равны;
3. вертикальные углы равны;
4. два треугольника равны, если равны сторона и два прилежащих к ней угла;
5. угол, вписанный в полуокружность, прямой (это — от Памфилы).

Список выглядит странно: первые четыре утверждения кажутся слишком очевидными, чтобы их «открывать». В том и суть. Открытием было не содержание, а требование обоснования очевидного.

Доказательство

Пусть $AB$ — диаметр окружности с центром $O$, а $C$ — любая точка окружности, отличная от $A$ и $B$. Треугольники $AOC$ и $BOC$ равнобедренные, потому что $OA=OB=OC=R$ — это радиусы. Значит,

$$\angle OAC=\angle OCA=\alpha,\qquad \angle OBC=\angle OCB=\beta .$$

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$:

$$\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad \alpha+\beta=90^\circ .$$

А $\angle ACB=\alpha+\beta$. Следовательно, $\angle ACB=90^\circ$. $\blacksquare$

Обратите внимание на то, чем именно мы воспользовались: равнобедренностью (утверждение 2 из списка Фалеса) и теоремой о сумме углов треугольника. Последняя — не невинный факт: в геометрии ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. сумма углов меньше $180^\circ$, и теорема Фалеса там неверна. Через двадцать три века станет ясно, что этот школьный сюжет держится ровно на пятом постулате, и точка в Милете окажется первым камнем в фундаменте, который будут разбирать в Казани.

Верно и обратное: если $\angle ACB=90^\circ$, то $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Отсюда полезное следствие — геометрическое место точек, из которых отрезок виден под прямым углом, есть окружность с этим отрезком в качестве диаметра. На нём основано школьное построение касательной к окружности из внешней точки: соединяем точку $P$ с центром $O$, строим окружность на $PO$ как на диаметре, и точки её пересечения с исходной окружностью — искомые точки касания, потому что радиус в них виден под прямым углом.

Осторожно: две разные «теоремы Фалеса»

Это место, где регулярно путаются учебники разных стран.

Обе восходят к античности, обе приписываются Фалесу традицией, но это разные утверждения, и при чтении переводной литературы стоит каждый раз проверять, о какой идёт речь.

Легенды и то, что за ними

Две истории про Фалеса вошли в школьные хрестоматии, и обе стоит рассказывать с оговорками.

Высота пирамиды по тени. По Плутарху, Фалес измерил высоту пирамиды, дождавшись момента, когда тень человека равна его росту. Метод безупречен и опирается на подобие треугольников:

$$\frac{H}{L}=\frac{h}{\ell},$$

где $H$ — высота пирамиды, $L$ — длина её тени, $h$ и $\ell$ — рост и тень шеста. Практическая тонкость, о которой умалчивают пересказы: тень пирамиды надо мерить от центра основания, а видна она только от края, так что к длине тени нужно прибавить половину стороны основания.

Предсказание солнечного затмения 28 мая 585 года до н. э. По Геродоту, оно прервало битву мидян с лидийцами. Дата астрономически надёжна (потому эта точка и стоит в 585 году), но большинство историков науки считает, что предсказать конкретное солнечное затмение в конкретном месте с тогдашними средствами было невозможно: цикл сароса даёт лунные затмения хорошо, а солнечные — только с точностью до полосы видимости где-то на Земле. Вероятнее всего, перед нами удачное совпадение, превращённое молвой в предвидение.

Эти истории важны не как факты биографии, а как свидетельство: греки уже понимали разницу между измерением (померить тень) и выводом (доказать, что метод работает всегда). Вторая половина — и есть новорождённая математика.

Следующая точка: Кротон — где доказательство впервые применят к утверждению, которое веками использовали, не доказывая.