Греция · книга I, глава 10
Теорема Птолемея и хорда разности
Условие
Доказать, что для четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: $AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD$. Что получится, если четырёхугольник — прямоугольник?
Показать ответ
для прямоугольника получается теорема Пифагора
О чём эта задача
Птолемею эта теорема нужна была не сама по себе, а как машина для таблиц: из неё получается формула хорды разности дуг — по-нашему $\sin(\alpha-\beta)$. С её помощью, зная хорды для $36^\circ$ и $60^\circ$, он построил таблицу через полградуса, по которой считали астрономы полторы тысячи лет. То есть теорема о четырёхугольнике — это тригонометрические формулы сложения, записанные до появления синуса.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.