Вариньон: параллелограмм внутри четырёхугольника

Аббат, бросивший богословие ради Евклида

Пьер Вариньон (1654–1722) родился в Кане в семье каменщика и готовился в священники. Богословие он изучал прилежно и без всякого интереса, пока случайно не открыл «Начала» Евклида. По собственному признанию, после этого он не мог думать ни о чём другом.

Сан он всё же принял и до конца жизни оставался аббатом, но занимался математикой: профессор в Коллеж Мазарини, потом в Коллеж Рояль, с 1688 года член Академии наук.

Известен он прежде всего механикой — теоремой о моменте равнодействующей и правилом параллелограмма сил. Но нас интересует его посмертный учебник, «Éléments de mathématique», вышедший в 1731 году, через девять лет после смерти автора.

Теорема

Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма.

Произвольного. Не выпуклого, не вписанного, не какого-нибудь особенного. Любого.

Утверждение настолько простое, что его хочется отнести к грекам. Между тем у Евклида его нет, у Паппа нет, у арабских авторов нет. Впервые оно печатается в 1731 году — через две тысячи лет после «Начал».

Доказательство, которое знает больше, чем чертёж

Проведём диагональ $AC$. Она разрезает четырёхугольник $ABCD$ на два треугольника.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, — средняя линия: он параллелен $AC$ и вдвое короче. В треугольнике $ACD$ отрезок $QP$ между серединами $AD$ и $DC$ — тоже средняя линия той же диагонали, и тоже параллелен $AC$ и вдвое короче.

Значит, $MN \parallel QP$ и $MN = QP$. А четырёхугольник, у которого две стороны параллельны и равны, — параллелограмм. $\blacksquare$

Теперь посмотрите, чем мы не пользовались.

Мы ни разу не сказали, что четырёхугольник выпуклый. Мы ни разу не сказали, что его стороны не пересекаются. Мы даже ни разу не сказали, что все четыре вершины лежат в одной плоскости, — средняя линия треугольника от этого не зависит.

Поэтому теорема Вариньона верна и для невыпуклого четырёхугольника, и для самопересекающегося, и для пространственного: возьмите четыре точки в пространстве как попало, соедините середины — получится плоский параллелограмм. Это красивый и не единственный случай, когда доказательство знает больше, чем чертёж, по которому его придумали: чертёж был плоский и выпуклый, а рассуждение оказалось шире.

Что отсюда сразу следует

• Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
• Площадь его равна половине площади исходного выпуклого четырёхугольника.
• Центр его — середина отрезка, соединяющего середины диагоналей. Он же центр масс четырёх равных грузов, помещённых в вершины, — то есть та самая точка, которую Чева искал бы взвешиванием.

Школьная тема «средняя линия, четырёхугольники, центр масс» держится в восьмом классе целиком на этих трёх строчках.

Спор, в котором он защищал анализ

Есть у Вариньона и роль, о которой в связи с четырёхугольниками не вспоминают.

С 1700 по 1706 год в Парижской академии шёл спор о том, законно ли вообще дифференциальное исчисление. Бесконечно малые казались противоречивыми: величина, которая то равна нулю, то не равна, смотря по надобности. Нападал на анализ Мишель Ролль — тот самый, чья теорема стоит в программе одиннадцатого класса. Защищал Вариньон.

Ролль был по-своему прав: строгого обоснования у анализа тогда действительно не было, и появится оно только через полтора века, у Коши и Вейерштрасса. А Вариньон был прав по существу: метод работал.

Так и вышло, что человек, доказавший самую школьную теорему о четырёхугольнике, всю жизнь воевал за исчисление бесконечно малых — с автором другой самой школьной теоремы.

Следующая точка: Глазго — где полвека будут восстанавливать утраченные греческие книги, а самая известная теорема достанется человеку, который её не находил.