Сергей Натанович Бернштейн

Бернштейн учился в Париже и Гёттингене, а работал в Харькове — и почти всё, что он сделал, лежит на стыке областей, которые обычно не встречаются: приближение функций, дифференциальные уравнения и вероятность.

Не отсюда

Родился в Одессе, в семье профессора-физиолога. Мать увезла его учиться в Париж; там он окончил Сорбонну и Электротехническую школу, потом год в Гёттингене у Гильберта. В 1904 году защитил в Париже диссертацию, решив девятнадцатую проблему Гильберта об аналитичности решений эллиптических уравнений.

В России этот диплом ничего не значил: пришлось сдавать магистерские экзамены заново и защищаться второй раз. С 1908 года — в Харькове, где проработал больше двадцати лет и создал школу.

Многочлены Бернштейна

В 1912 году он дал новое доказательство теоремы Вейерштрасса о том, что непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить многочленом. Вейерштрасс доказал существование, не предъявляя многочленов. Бернштейн предъявил:

$$B_n(f;x) = \sum_{k=0}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)C_{n}^{k}x^k(1-x)^{n-k}.$$

Смысл — вероятностный. Это среднее значение функции в случайной точке $k/n$, где $k$ — число успехов в $n$ испытаниях с вероятностью $x$. По закону больших чисел частота близка к $x$, значит, среднее близко к $f(x)$. Аналитическая теорема доказана вероятностью — приём, который тогда выглядел неприличным.

Из тех же многочленов через полвека выросли кривые Безье, на которых стоит компьютерная графика и всякий векторный редактор.

Ему же принадлежит неравенство Бернштейна для сумм ограниченных независимых величин — предок современных концентрационных неравенств.

Аксиоматика

В той же харьковской работе 1917 года Бернштейн предложил первую систему аксиом теории вероятностей — раньше Колмогорова на шестнадцать лет. Строил он её на качественном сравнении событий («это вероятнее того»), а не на мере. Система работала, но оказалась громоздкой; победил теоретико-мерный подход, который Колмогоров всегда честно соотносил с работой Бернштейна.

Дальше

С 1933 года в Ленинграде, с 1943-го в Москве, в Математическом институте имени Стеклова. Занимался конструктивной теорией функций (это его термин), проблемой моментов, нелинейными задачами. Возглавлял издание сочинений Чебышёва — школы, к которой сам себя причислял.