Герд Фальтингс

Про Фальтингса рассказывают, что на докладах он задаёт вопросы, после которых доклад можно не продолжать. Репутация эта заслуженная и к делу отношения не имеет; к делу имеет отношение то, что он умеет доказывать вещи, которые считались одинаково безнадёжными, — по три за раз.

Вупперталь

Родился в 1954 году в Гельзенкирхене, в Рурской области. Учился в Мюнстере, диссертацию защитил в 1978 году, двадцати четырёх лет. Профессорскую кафедру в Вуппертале получил в двадцать восемь.

Три теоремы разом

Статья 1983 года называлась «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern» — «Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями». Имени Морделла в названии нет, и это характерно: гипотеза Морделла получилась следствием.

Доказаны были сразу три утверждения, которые считались независимыми:

• гипотеза Шафаревича — над числовым полем существует лишь конечное число абелевых многообразий данной размерности с хорошей редукцией вне заданного конечного множества простых;
• гипотеза Тейта — представление Галуа на точках конечного порядка определяет абелево многообразие с точностью до изогении;
• гипотеза Морделла — у кривой рода $\geqslant 2$ над $\mathbb{Q}$ рациональных точек конечное число.

Смысл последней стоит проговорить: количество решений уравнения определяется топологическим типом задаваемой им поверхности. Род 0 — решений может быть бесконечно много; род 1 — конечно порождённая группа Морделла; род $\geqslant2$ — просто конечное число.

Из неё, между прочим, следует, что уравнение Ферма при каждом $n\geqslant4$ имеет лишь конечное число решений. До полного доказательства оставалось убрать «лишь конечное»; это сделал Уайлс через одиннадцать лет, совсем другими средствами.

Филдсовская медаль 1986 года.

Дальше

Ему принадлежит p-адическая теория Ходжа — сравнение когомологий де Рама и этальных когомологий над $p$-адическими полями, одно из главных достижений арифметической геометрии восьмидесятых; теория почти-этальных расширений; вклад в теорию векторных расслоений на кривых и в геометрическую программу Ленглендса.

В 1994 году он вернулся в Германию — директором Института математики имени Макса Планка в Бонне, где работает и сейчас. Через его руки прошли несколько поколений арифметических геометров; научным руководителем он был у Питера Шольце.

Премия Кинга Фейсала 2014 года, Абелевская премия 2026 года — с формулировкой о введении мощных инструментов в арифметическую геометрию и решении долго стоявших диофантовых гипотез Морделла и Ланга.