Блэк, Шоулз и Мертон: цена неопределённости

Задача

Опцион колл — право (но не обязанность) купить акцию в момент $T$ по заранее оговорённой цене $K$. Если к этому моменту цена $S_T$ выше $K$, право стоит $S_T - K$; если ниже — ничего:

$$\text{выплата} = \max(S_{T}-K,\;0) = (S_{T}-K)^{+}.$$

Сколько стоит такое право сегодня?

Опционами торговали столетиями (в Амстердаме — с XVII века), цену назначали на глаз. Попытки расчёта — Башелье (1900), Спренкль, Самуэльсон, Торп — упирались в одно место: чтобы дисконтировать будущую выплату, нужна ставка дисконтирования, а она зависит от того, насколько рискован опцион и насколько инвестор не любит риск. Величина субъективная и неизмеримая.

Идея, снявшая проблему

Фишер Блэк и Майрон Шоулз нашли ход, устраняющий вопрос об отношении к риску полностью.

Соберём портфель из одного опциона и $-\Delta$ акций (то есть продадим $\Delta$ акций в короткую):

$$\Pi = V(S,t) - \Delta\,S.$$

Изменение стоимости за малое время. Цена акции подчиняется геометрическому броуновскому движению (см. точку об Итô):

$$dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW.$$

По формуле Итô для $V(S,t)$:

$$dV = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\sigma^{2}S^{2}}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}\right)dt + \sigma S\frac{\partial V}{\partial S}\,dW.$$

Следовательно,

$$d\Pi = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\sigma^{2}S^{2}}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}} - \Delta\mu S\right)dt + \sigma S\left(\frac{\partial V}{\partial S}-\Delta\right)dW.$$

Выберем $\Delta = \dfrac{\partial V}{\partial S}$. Тогда слагаемое при $dW$ обращается в нуль:

$$d\Pi = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\sigma^{2}S^{2}}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}\right)dt.$$

Портфель стал безрисковым — его изменение детерминировано. Обратите внимание: исчез и параметр $\mu$, ожидаемая доходность акции. Это ключевой момент — цена опциона не зависит от того, растёт акция или падает в среднем.

Безрисковый портфель обязан приносить безрисковую ставку $r$, иначе возникает арбитраж: $d\Pi = r\Pi\,dt$. Подставляя:

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\sigma^{2}S^{2}}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}} = r\left(V - S\frac{\partial V}{\partial S}\right),$$

то есть

$$\boxed{\;\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\sigma^{2}S^{2}}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0\;}$$

Уравнение Блэка — Шоулза. Заменой переменных оно сводится к уравнению теплопроводности — тому самому, ради которого ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. в 1807 году придумал свои ряды. Две линии карты сходятся здесь буквально в одном уравнении.

Формула

Решая с условием $V(S,T) = (S-K)^{+}$:

$$C = S\,\Phi(d_{1}) - K e^{-r(T-t)}\Phi(d_{2}),$$

$$d_{1} = \frac{\ln(S/K) + \left(r+\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}, \qquad d_{2} = d_{1}-\sigma\sqrt{T-t},$$

где $\Phi$ — функция распределения стандартного нормального закона.

Проверка предельного случая. Для $r=0$ и опциона «при деньгах» ($S=K$) при малом $\sigma\sqrt{T}$ формула даёт

$$C \approx \frac{S\sigma\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}4\,S\sigma\sqrt{T}.$$

Сравните с результатом Башелье, у которого для арифметического броуновского движения выходило $C = \sigma_{\text{абс}}\sqrt{T/2\pi}$. Это та же формула — с точностью до перехода от абсолютной волатильности к относительной. БашельеЛуи Башельефранцузский математик · 1870–1946В диссертации 1900 года описал броуновское движение раньше Эйнштейна и вывел формулу цены опциона за семьдесят три года до Блэка и Шоулза — и был забыт на полвека. получил правильный ответ в 1900 году; жюри сочло тему несерьёзной.

Что здесь по-настоящему ново

Ответ не в формуле, а в методе.

Репликация. Опцион можно воспроизвести динамическим портфелем из акции и облигации, непрерывно подстраивая долю $\Delta$. Значит, его цена — это стоимость воспроизводящего портфеля, и никакой другой она быть не может, иначе существует безрисковая прибыль.

Это ровно рассуждение ГюйгенсаХристиан Гюйгенснидерландский математик, физик и астроном · 1629–1695Написал первый печатный учебник теории вероятностей, изобрёл маятниковые часы, открыл кольца Сатурна и объяснил свет волнами. из 1657 года (см. точку о Гюйгенсе): справедливая цена определяется тем, что позицию можно собрать из заведомо равноправных сделок. За 316 лет метод не изменился — изменился только класс воспроизводимых позиций.

Риск-нейтральная мера. Формальное оформление, данное Харрисоном, Крепсом и Плиской (1979–81): существует эквивалентная вероятностная мера $\mathbb{Q}$, при которой дисконтированные цены — мартингалы, и

$$C = e^{-r(T-t)}\,E^{\mathbb{Q}}\left[(S_{T}-K)^{+}\right].$$

Мера $\mathbb{Q}$ не описывает реальные вероятности — это вычислительный инструмент. Первая фундаментальная теорема финансовой математики: отсутствие арбитража равносильно существованию такой меры. Здесь колмогоровская аксиоматика, теорема Радона — Никодима и мартингалы Дуба работают в полную силу.

Люди и публикации

• ФишерРональд Фишеранглийский статистик и генетик · 1890–1962Придумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции. Блэк и Майрон Шоулз, «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», Journal of Political Economy, май–июнь 1973. Статью до этого отвергли и в JPE, и в Review of Economics and Statistics; помогло заступничество Мертона Миллера и Юджина Фамы.
• Роберт Мертон, «Theory of Rational Option Pricing», Bell Journal of Economics, весна 1973. Именно Мертон дал строгий вывод через непрерывное хеджирование и стохастическое исчисление; он же придумал название «модель Блэка — Шоулза», хотя мог назвать её своим именем, и придержал публикацию, чтобы первыми вышли коллеги.
• Чикагская опционная биржа (CBOE) открылась 26 апреля 1973 года — за месяц до выхода статьи. Совпадение поразительное: инструмент и теория его оценки появились одновременно. Через год Texas Instruments рекламировал калькулятор со встроенной формулой.

Нобелевская премия по экономике 1997 года — Шоулзу и Мертону. Блэк умер от рака в августе 1995 года, в 57 лет; премия не присуждается посмертно, но комитет упомянул его вклад в официальном сообщении.

Обязательная критика

Точка была бы неполной без неё, и для школьной аудитории это едва ли не важнее самой формулы.

Предпосылки модели заведомо неверны: постоянная волатильность, логнормальность цен, непрерывность траекторий (нет скачков), отсутствие транзакционных издержек, возможность непрерывно торговать, известная безрисковая ставка.

Рынок это знает. Если из наблюдаемых цен опционов извлечь подразумеваемую волатильность $\sigma$, она оказывается разной для разных страйков — так называемая «улыбка волатильности», особенно резкая после краха 1987 года. То есть участники рынка сами вводят поправку на то, что реальные распределения имеют более тяжёлые хвосты, чем логнормальное.

Это прямо возвращает нас к МандельбротуБенуа Мандельбротфранцузско-американский математик · 1924–2010Собрал разрозненных «математических монстров» XIX века в одну геометрию, дал ей имя «фрактал» и показал, что она описывает берег, облако, лёгкое и биржевой график. (см. следующий раздел): цены не гауссовы, крупные движения случаются несопоставимо чаще, чем предсказывает нормальный закон.

Практические последствия известны. Крах фонда Long-Term Capital Management в 1998 году, среди партнёров которого были Шоулз и Мертон, стал самой цитируемой иллюстрацией: модель, верная в среднем, катастрофически ошибается в хвостах, а именно хвосты и разоряют.

Это не аргумент против формулы, а аргумент за понимание её границ. Формула Блэка — Шоулза сегодня используется в основном как язык котировки (цену выражают через подразумеваемую волатильность), а не как предсказание.