Классические задачи о наибольшем и наименьшем
Задачи, у которых спрашивается не «сколько», а «как лучше всего»: где поставить точку, чтобы сумма расстояний была наименьшей; по какой кривой висит цепь; какая фигура данного периметра охватывает наибольшую площадь. Все три решены задолго до вариационного исчисления и все три решаются в школе — если знать, с какой стороны заходить.
На карте Ферма: экстремумы и касательные
ИзданиеКурант Р., Роббинс Г. Что такое математика, гл. VII
Задачи
-
Три деревни и один колодец
вызов Ферма, ок. 1640; решение Торричелли
Три деревни стоят вершинами треугольника, все углы которого меньше $120^\circ$. Где вырыть колодец, чтобы сумма расстояний до трёх деревень была…
-
По какой кривой висит цепь
вызов Якоба Бернулли, 1690
По какой кривой провисает тяжёлая однородная цепь, подвешенная за два конца? Галилей утверждал, что по параболе. Прав ли он?
-
Задача Дидоны
Штейнер, 1838
Среди всех плоских фигур данного периметра найти ту, у которой площадь наибольшая. Сравнить круг с правильными многоугольниками того же периметра.