Карта → задачник
Задачник
Здесь собраны задачи, которые в самом деле решали: из папируса Ринда, из «Девяти глав», у Диофанта, в «Лилавати», у Магницкого. Каждая дана дважды — так, как она звучала тогда, и так, как её записали бы сегодня. Разница между двумя записями и есть предмет этого раздела: она показывает, чего у людей не было и что им приходилось делать вместо этого.
171 задача · 58 источников · 1850 до н. э. — 1913 · у 144 сохранилась подлинная формулировка · 64 точки карты
Отобрано: Европа 47
-
Волк, коза и капуста
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 18
Человеку надо перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодку помещается он сам и только один из троих. Волка нельзя оставлять с козой, козу — с…
-
Сто мер на сто человек
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 33
Раздать 100 мер зерна 100 людям так, чтобы мужчина получил 3 меры, женщина 2, а ребёнок $\frac12$. Сколько было мужчин, женщин и детей?
-
Собака и заяц
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 26
Заяц находится в 150 футах от собаки. За один прыжок собака пробегает 9 футов, заяц — 7. Сколько прыжков понадобится собаке, чтобы догнать зайца?
-
Двадцать одна бочка
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 12
Три наследника делят 21 бочку: 7 полных, 7 полупустых и 7 пустых. Разделить так, чтобы каждому досталось поровну бочек и поровну вина, не переливая…
-
Три брата и три сестры
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 17
Трое мужчин, у каждого сестра, должны переправиться через реку. Лодка вмещает двоих. Ни одна женщина не должна оказаться рядом с чужим мужчиной в…
-
Голуби на лестнице
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 42
На первой ступени лестницы сидит 1 голубь, на второй 2, на третьей 3 и так до сотой, где сидит 100. Сколько всего голубей?
-
Сто животных на сто солидов
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 39
Куплено 100 животных за 100 солидов: верблюд стоит 5 солидов, осёл 1, а за 1 солид дают 20 овец. Сколько куплено верблюдов, ослов и овец, если…
-
Сколько следов оставит бык
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 14
Бык пашет поле весь день. Сколько следов он оставит на последней борозде?
-
Пара кроликов
Фибоначчи, «Книга абака» · глава 12
В огороженное место посадили пару кроликов. Каждая пара со второго месяца жизни ежемесячно производит новую пару. Сколько пар будет через год?
-
Семь старух идут в Рим
Фибоначчи, «Книга абака» · глава 12
Семь старух идут в Рим; у каждой семь мулов, у каждого мула семь мешков, в каждом мешке семь хлебов, при каждом хлебе семь ножей, у каждого ножа семь…
-
Тридцать птиц за тридцать монет
Фибоначчи, «Книга абака» · глава о задачах на птиц
Куплено 30 птиц за 30 монет. За монету дают трёх воробьёв или двух горлиц, а голубь стоит 2 монеты. Сколько куплено птиц каждого рода, если каждого…
-
О двух людях
Фибоначчи, «Книга абака» · задача «De duobus hominibus»
Первый говорит: дай мне 7 денариев, и я стану впятеро богаче тебя. Второй: дай мне 5, и я стану всемеро богаче тебя. Сколько денег у каждого?
-
Найденный кошелёк
Фибоначчи, «Книга абака» · задача о найденном кошельке
Двое нашли кошелёк. Первый говорит: возьму кошелёк — и у меня станет втрое больше денег, чем у тебя. Второй: возьму я — и у меня станет вчетверо…
-
Семь ворот
Фибоначчи, «Книга абака» · задача о человеке в саду
Человек набрал в саду яблок. У каждых из семи ворот он отдавал стражу половину того, что нёс, и ещё одно яблоко. За последними воротами у него…
-
Квадрат, остающийся квадратом
Фибоначчи, «Книга квадратов» · задача Иоанна Палермского
Найти рациональное число, квадрат которого при прибавлении и при вычитании 5 остаётся квадратом рационального числа.
-
Девять верных знаков
Фибоначчи, «Флос» · задача Иоанна Палермского
Решить уравнение $x^3+2x^2+10x=20$. Фибоначчи записал корень шестидесятеричной дробью $1;22,7,42,33,4,40$ — перевести её в десятичную и сравнить с…
-
С какого места лучше смотреть
Задача Региомонтана · письмо к Христиану Родеру, 1471
Статуя высотой $a$ стоит на колонне высотой $b$. На каком расстоянии от основания колонны надо встать наблюдателю (глаз на уровне земли), чтобы…
-
Делёж прерванной игры
Пачоли, «Сумма арифметики» · часть I, отдел 9
Двое играют до шести побед, поставив по 50 дукатов. Игра прервана при счёте 5:3. Как справедливо разделить 100 дукатов?
-
Разделить десять так, чтобы вышло сорок
Кардано, «Великое искусство» · глава XXXVII
Разделить 10 на две части так, чтобы их произведение равнялось 40. Показать, что вещественных частей с таким свойством нет, и проверить, что…
-
Куб и шесть его сторон
Кардано, «Великое искусство» · глава XI
Решить уравнение $x^3+6x=20$ по правилу Кардано: $x=\sqrt[3]{\sqrt{108}+10}-\sqrt[3]{\sqrt{108}-10}$. Убедиться, что получается целое число, и…
-
Четвёрка через мнимые числа
Бомбелли, «Алгебра» · книга II
У уравнения $x^3=15x+4$ корень $x=4$ виден сразу. Формула же Кардано даёт $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$. Проверить, что…
-
Уравнение сорок пятой степени
Виет: буквенная алгебра · ответ на вызов Адриана ван Роомена, 1593
Ван Роомен предложил уравнение вида $45y-3795y^3+95634y^5-\ldots+y^{45}=C$. Виет заметил, что левая часть есть в точности выражение $2\sin 45\alpha$…
-
Четыре гири
Задачи Возрождения на наибольшее и наименьшее · Баше де Мезириак, «Приятные и занимательные задачи», 1612
Каким наименьшим числом гирь можно отвесить любой целый вес от 1 до 40 фунтов, если гири можно класть на обе чашки весов? Каковы эти гири?
-
Рота и челнок
Задачи Возрождения на наибольшее и наименьшее · Баше де Мезириак, «Приятные и занимательные задачи», 1612
Роте солдат нужно переправиться через реку. Есть челнок, в который помещается либо один взрослый, либо двое мальчиков; мальчиков двое, и они на этом…
-
Австрийская бочка
Задачи Возрождения на наибольшее и наименьшее · Кеплер, «Новая стереометрия винных бочек», 1615
Виноторговец мерил бочку прутом, вставляя его в отверстие посреди боковой стенки и упирая в дальний нижний край дна: прут проходит по горизонтали…
-
Девятка и десятка
Рождение теории вероятностей · записка «О выходах при игре в кости»
Бросают три игральные кости. И девятку, и десятку можно получить шестью разными наборами очков. Почему же на опыте десятка выпадает чаще?
-
Площадь под аркой циклоиды
Циклоида: «Елена геометров» · Роберваль, 1634
Колесо радиуса $r$ катится по прямой без скольжения; точка обода вычерчивает арку циклоиды. Найти площадь под одной аркой и сравнить её с площадью…
-
Три деревни и один колодец
Классические задачи о наибольшем и наименьшем · вызов Ферма, ок. 1640; решение Торричелли
Три деревни стоят вершинами треугольника, все углы которого меньше $120^\circ$. Где вырыть колодец, чтобы сумма расстояний до трёх деревень была…
-
Два вопроса кавалера де Мере
Рождение теории вероятностей · переписка Паскаля и Ферма, 1654
Выгодно ли ставить на то, что при четырёх бросках одной кости выпадет хоть одна шестёрка? А на то, что при двадцати четырёх бросках двух костей…
-
Кто бросает первым
Гюйгенс, «О расчётах в азартной игре» · задача 3 из пяти, оставленных читателю
Двое по очереди бросают две кости. B бросает первым и выигрывает, если выпадет 6 очков; A выигрывает, если выпадет 7. Игра идёт, пока кто-нибудь не…
-
Разорение игрока
Гюйгенс, «О расчётах в азартной игре» · задача 5 из пяти, оставленных читателю
У A и у B по 12 фишек. Бросают три кости: при 11 очках A отдаёт фишку B, при 14 очках B отдаёт фишку A; прочие исходы ничего не меняют. Выигрывает…
-
Длина арки без числа пи
Циклоида: «Елена геометров» · Кристофер Рен, 1658
Найти длину одной арки циклоиды, вычерчиваемой точкой обода колеса радиуса $r$.
-
Три расстояния
Задачи Возрождения на наибольшее и наименьшее · Вивиани, ок. 1659
Точка лежит внутри равностороннего треугольника. Доказать, что сумма расстояний от неё до трёх сторон не зависит от выбора точки, и найти эту сумму…
-
По какой кривой висит цепь
Классические задачи о наибольшем и наименьшем · вызов Якоба Бернулли, 1690
По какой кривой провисает тяжёлая однородная цепь, подвешенная за два конца? Галилей утверждал, что по параболе. Прав ли он?
-
Кривая быстрейшего спуска
Задачи Возрождения на наибольшее и наименьшее · вызов Иоганна Бернулли, июнь 1696
В вертикальной плоскости даны две точки, не лежащие на одной вертикали. По какой кривой шарик, скатываясь под действием тяжести без трения, попадёт…
-
Сколько нужно испытаний
Якоб Бернулли, «Искусство предположений» · часть IV, глава V
Доля белых шаров равна $\frac35$. Сколько извлечений с возвращением нужно, чтобы с шансами не хуже $1000:1$ наблюдённая частота отличалась от…
-
Базельская задача
Задачи Эйлера · решение базельской задачи, 1735
Найти сумму $1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\ldots$. Оценить, сколько членов нужно взять, чтобы получить два верных знака после запятой.
-
Семь мостов Кёнигсберга
Задачи Эйлера · мемуар 1736 года
Река делит город на четыре части, соединённые семью мостами. Можно ли пройти по всем мостам, побывав на каждом ровно один раз?
-
Петербургская игра
Даниил Бернулли: петербургский мемуар · мемуар 1738 года
Монету бросают до первого орла. Если он выпал на $n$-м броске, игрок получает $2^{n}$ дукатов. Найти математическое ожидание выигрыша. Сколько вы…
-
Сколькими способами разрезать многоугольник
Задачи Эйлера · переписка с Сегнером, 1751
Сколькими способами выпуклый шестиугольник разбивается непересекающимися диагоналями на треугольники? А пятиугольник и семиугольник?
-
Игла Бюффона
Бюффон, «Опыт нравственной арифметики» · раздел о вероятностях, 1777
На пол, разлинованный параллельными прямыми на расстоянии $d$ друг от друга, наудачу бросают иглу длиной $\ell \leqslant d$. Какова вероятность, что…
-
Тридцать шесть офицеров
Задачи Эйлера · мемуар 1782 года
Можно ли расставить 36 офицеров — по шесть из каждого из шести полков и по шесть каждого из шести чинов — в квадрат $6\times6$ так, чтобы в каждой…
-
Сумма от одного до ста
Школьная легенда о Гауссе · по рассказу Сарториуса фон Вальтерсхаузена
Сложить все натуральные числа от 1 до 100.
-
Задача Дидоны
Классические задачи о наибольшем и наименьшем · Штейнер, 1838
Среди всех плоских фигур данного периметра найти ту, у которой площадь наибольшая. Сравнить круг с правильными многоугольниками того же периметра.
-
Восемь ферзей
Люка, «Математические развлечения» · том I; задача поставлена Беццелем в 1848
Сколькими способами можно расставить на доске $8\times8$ восемь ферзей так, чтобы никакие два не били друг друга?
-
Хватит ли четырёх красок
Задача о четырёх красках · вопрос Гатри к де Моргану, 1852
Построить карту, которую нельзя раскрасить тремя красками так, чтобы соседние по границе области были разного цвета. Можно ли построить карту…
-
Ханойская башня
Люка, «Математические развлечения» · том III; игра выпущена в 1883 году
Перенести башню из $n$ дисков с одного стержня на другой, перекладывая по одному и никогда не кладя больший диск на меньший. Каково наименьшее число…