Карта → задачник
Задачник
Здесь собраны задачи, которые в самом деле решали: из папируса Ринда, из «Девяти глав», у Диофанта, в «Лилавати», у Магницкого. Каждая дана дважды — так, как она звучала тогда, и так, как её записали бы сегодня. Разница между двумя записями и есть предмет этого раздела: она показывает, чего у людей не было и что им приходилось делать вместо этого.
171 задача · 58 источников · 1850 до н. э. — 1913 · у 144 сохранилась подлинная формулировка · 64 точки карты
Отобрано: 9 класс 44
-
Колонки Плимптона
Вавилонские клинописные таблички · табличка Plimpton 322
На табличке пятнадцать строк по четыре числа. Из второй и третьей колонки первой строки читается пара $119$ и $169$, из четвёртой строки — $12709$ и…
-
Кошки и мыши
Папирус Ринда · задача 79
В семи домах живёт по семи кошек. Каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса вырастает по семи мер…
-
Круглое поле
Папирус Ринда · задача 50
Найти площадь круга диаметром 9, если считать её по египетскому правилу: она равна площади квадрата со стороной $\frac89$ диаметра. Какому значению…
-
Десять мер на десятерых
Папирус Ринда · задача 64
Разделить 10 мер ячменя между десятью людьми так, чтобы доли составляли арифметическую прогрессию с разностью $\frac18$. Найти наибольшую долю.
-
Сто хлебов на пятерых
Папирус Ринда · задача 40
Разделить 100 хлебов между пятью людьми так, чтобы доли составляли арифметическую прогрессию, а сумма двух меньших долей равнялась $\frac17$ суммы…
-
Откуда взялись восемь девятых
Папирус Ринда · задача 48
В квадрат со стороной 9 вписан круг. Разделить каждую сторону квадрата на три части и отсечь четыре угловых треугольника с катетами 3 и 3. Найти…
-
Доли ока Хора
Папирус Ринда · задачи 80–81
Хекат зерна делили на доли $\frac12,\frac14,\frac18,\frac1{16},\frac1{32},\frac1{64}$, обозначая их частями рисунка глаза. Найти сумму всех шести…
-
Ахиллес и черепаха
Свидетельства о греческой математике · Аристотель, «Физика», VI, 9
Ахиллес бежит вдесятеро быстрее черепахи и даёт ей фору 100 м. Пока он пробежит эти 100 м, черепаха уйдёт на 10 м; пока он пробежит 10 м, она уйдёт…
-
Луночка Гиппократа
Свидетельства о греческой математике · Симпликий, со слов Евдема
На гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника как на диаметре построен полукруг, содержащий треугольник; на катете как на диаметре…
-
Удвоение куба
Свидетельства о греческой математике · Эратосфен, письмо царю Птолемею
Делосцы, чтобы избавиться от мора, получили от оракула приказ удвоить кубический жертвенник, сохранив его форму. Во сколько раз надо увеличить ребро?…
-
Между двумя девяностошестиугольниками
Сочинения Архимеда · «Измерение круга», предложение 3
Вписать в круг и описать около него правильный шестиугольник, затем удваивать число сторон до 96 и оценить длину окружности сверху и снизу. Между…
-
Как измерили Землю
Свидетельства о греческой математике · Клеомед, «О круговом движении небесных тел»
В день летнего солнцестояния в Сиене солнце стоит точно в зените, а в Александрии, лежащей на том же меридиане в 5000 стадиях к северу, его лучи…
-
Круглое поле
Девять глав о математическом искусстве · глава 1, задача 31
Найти площадь круглого поля с окружностью 30 и диаметром 10 по китайскому правилу: половина окружности, умноженная на половину диаметра. Какому…
-
Бамбук из девяти колен
Девять глав о математическом искусстве · глава 3, задача 4
Ёмкости девяти колен бамбука составляют арифметическую прогрессию, убывающую снизу вверх. Три нижних колена вмещают вместе 4 меры, три верхних — 3…
-
Две мыши грызут стену
Девять глав о математическом искусстве · глава 7, задача 12
Стена толщиной 5. Навстречу друг другу её грызут две мыши: обе в первый день по 1, но большая каждый следующий день удваивает выработку, а малая…
-
Квадратный город и дерево
Девять глав о математическом искусстве · глава 9, задача 20
Квадратный город со стороной $x$, ворота посреди каждой стены. Дерево стоит в 20 к северу от северных ворот. Выйдя из южных ворот, надо пройти 14 на…
-
Площадь по трём сторонам
Герон, «Метрика» · книга I, предложение 8
Найти площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15, не вычисляя высоты.
-
Теорема Птолемея и хорда разности
Птолемей, «Альмагест» · книга I, глава 10
Доказать, что для четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон…
-
Разложить квадрат на два квадрата
Диофант, «Арифметика» · книга II, задача 8
Представить 16 в виде суммы квадратов двух рациональных чисел.
-
Два путника
Бахшалийская рукопись · лист с задачами о прогрессиях
Первый путник в первый день проходит 2 единицы пути и каждый следующий день на 3 единицы больше. Второй в первый день проходит 3 единицы и каждый…
-
Неизвестное число вещей
Математический трактат Сунь-цзы · свиток 3, задача 26
Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 3 остаток 2, на 5 — остаток 3, на 7 — остаток 2.
-
Дробь, продержавшаяся девятьсот лет
Цзу Чунчжи и Цзу Гэнчжи · по «Истории династии Суй»
Цзу Чунчжи даёт для $\pi$ дробь $\frac{355}{113}$. Сколько верных знаков после запятой она даёт? Сравнить с архимедовым $\frac{22}{7}$.
-
Размельчитель
Ариабхата, «Ариабхатия» · глава «Ганита», стих 32–33
Найти наименьшее натуральное число, дающее остаток 5 при делении на 8, остаток 4 при делении на 9 и остаток 1 при делении на 7.
-
Приближённо, — говорит Ариабхата
Ариабхата, «Ариабхатия» · Ганитапада, стих 10
Вычислить по правилу Ариабхаты длину окружности круга диаметром 20 000 и найти отсюда его значение $\pi$. Сколько верных знаков?
-
Два аскета
Брахмагупта, «Брахмаспхутасиддханта» · глава XII
На вершине отвесной скалы высотой 100 живут два аскета. Селение отстоит от подножия на 300. Первый спускается вниз и идёт в селение по земле. Второй…
-
Площадь вписанного четырёхугольника
Брахмагупта, «Брахмаспхутасиддханта» · глава XII, правило 21
Четырёхугольник со сторонами 25, 39, 52, 60 вписан в окружность. Найти его площадь по правилу Брахмагупты $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где $p$…
-
Голуби на лестнице
Алкуин, «Задачи для изощрения ума» · задача 42
На первой ступени лестницы сидит 1 голубь, на второй 2, на третьей 3 и так до сотой, где сидит 100. Сколько всего голубей?
-
Разделить десять на две части
Аль-Хорезми, «Книга о восполнении и противопоставлении» · глава задач
Разделить 10 на две части так, чтобы сумма их отношений (первой ко второй и второй к первой) равнялась $2\frac16$.
-
Сумма кубов
Геометрия и вычисления исламского мира · аль-Караджи, «аль-Фахри»
Доказать, что $1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2$, и вычислить сумму кубов первых десяти чисел.
-
Рой пчёл
Бхаскара II, «Лилавати» · раздел о квадратных уравнениях, стих 68
Из пчелиного роя $\sqrt{x/2}$ пчёл полетело к жасмину, $\frac89$ роя остались дома, а последние две — самец, запертый на ночь в закрывшемся лотосе, и…
-
Шесть вкусов
Бхаскара II, «Лилавати» · раздел о сочетаниях
Сколько различных сочетаний можно составить из шести вкусов, беря их по одному, по два и так далее до всех шести?
-
Пара кроликов
Фибоначчи, «Книга абака» · глава 12
В огороженное место посадили пару кроликов. Каждая пара со второго месяца жизни ежемесячно производит новую пару. Сколько пар будет через год?
-
Семь старух идут в Рим
Фибоначчи, «Книга абака» · глава 12
Семь старух идут в Рим; у каждой семь мулов, у каждого мула семь мешков, в каждом мешке семь хлебов, при каждом хлебе семь ножей, у каждого ножа семь…
-
Теорема синусов
Ат-Туси: тригонометрия и механика · «Трактат о полном четырёхстороннике», кн. III
В треугольнике $\angle A=45^\circ$, $\angle B=60^\circ$, сторона $a=10$. Найти сторону $b$ и третий угол.
-
Теорема косинусов
Геометрия и вычисления исламского мира · ал-Каши, «Ключ арифметики», 1427
Найти третью сторону треугольника, у которого две стороны равны 7 и 8, а угол между ними $60^\circ$. Что получится из той же формулы, если угол…
-
Обезьяна и манго
Бхаскара II, «Лилавати» · позднейшая индийская традиция
Трое друзей собрали плоды манго и легли спать. Ночью один проснулся, отдал один плод обезьяне, взял себе треть остатка и лёг. Потом то же сделал…
-
Три деревни и один колодец
Классические задачи о наибольшем и наименьшем · вызов Ферма, ок. 1640; решение Торричелли
Три деревни стоят вершинами треугольника, все углы которого меньше $120^\circ$. Где вырыть колодец, чтобы сумма расстояний до трёх деревень была…
-
Лошадь за подковные гвозди
Магницкий, «Арифметика» · часть первая, о прогрессиях
Продавец предлагает купить не лошадь, а 24 подковных гвоздя: за первый $\frac14$ копейки, за каждый следующий вдвое больше предыдущего, а лошадь…
-
Тридцать шесть офицеров
Задачи Эйлера · мемуар 1782 года
Можно ли расставить 36 офицеров — по шесть из каждого из шести полков и по шесть каждого из шести чинов — в квадрат $6\times6$ так, чтобы в каждой…
-
Сумма от одного до ста
Школьная легенда о Гауссе · по рассказу Сарториуса фон Вальтерсхаузена
Сложить все натуральные числа от 1 до 100.
-
Задача Дидоны
Классические задачи о наибольшем и наименьшем · Штейнер, 1838
Среди всех плоских фигур данного периметра найти ту, у которой площадь наибольшая. Сравнить круг с правильными многоугольниками того же периметра.
-
Восемь ферзей
Люка, «Математические развлечения» · том I; задача поставлена Беццелем в 1848
Сколькими способами можно расставить на доске $8\times8$ восемь ферзей так, чтобы никакие два не били друг друга?
-
Постулат Бертрана
Чебышёв: петербургская школа · «Mémoire sur les nombres premiers», 1850
Проверить, что между $n$ и $2n$ есть простое число, для $n=1,2,\ldots,10$. Верно ли это всегда?
-
Ханойская башня
Люка, «Математические развлечения» · том III; игра выпущена в 1883 году
Перенести башню из $n$ дисков с одного стержня на другой, перекладывая по одному и никогда не кладя больший диск на меньший. Каково наименьшее число…