Поиск

Задачник → Девять глав о математическом искусстве

Китай · глава 9, задача 20

Квадратный город и дерево

ок. 100 до н. э. · 9 класс · трудная · составлено многими поколениями

Как звучало тогда

Имеется квадратный город неизвестного размера, в середине каждой стороны — ворота. В 20 бу от северных ворот стоит дерево. Если выйти из южных ворот и пройти 14 бу, затем повернуть на запад и пройти 1775 бу, дерево станет видно. Спрашивается, какова сторона города.

Условие

Квадратный город со стороной $x$, ворота посреди каждой стены. Дерево стоит в 20 к северу от северных ворот. Выйдя из южных ворот, надо пройти 14 на юг и затем 1775 на запад, чтобы дерево показалось из-за угла города. Найти сторону города.

Квадратный город, дерево и луч зрения из-за углачертёж не в масштабе: 1775 бу не уместить рядом с 250городсторона x20деревоугол141775отсюда деревопоказалосьx/2
$x^2 + (20+14)\,x = 2\cdot20\cdot1775$
$x^2 + 34x = 71\,000,\qquad x = 250$
Луч зрения из точки за городом проходит через северо-западный угол и упирается в дерево. Два подобных треугольника — с катетами 20 и x/2 и с катетами x+34 и 1775 — дают уравнение x² + 34x = 71 000MathLocus · построено для этого сайта
Показать ответ

250

О чём эта задача

Подобие треугольников даёт $x^2+34x=2\cdot20\cdot1775=71000$, откуда $x=250$. Это полноценное квадратное уравнение за две тысячи лет до аль-Хорезми, и решается оно тем же способом — выделением полного квадрата, только в китайской записи это выглядит как извлечение корня с поправкой. Условие стоит разобрать по чертежу: луч зрения касается юго-западного угла города, и именно это даёт подобие.

Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.