Европа · вызов Якоба Бернулли, 1690
По какой кривой висит цепь
Как звучало тогда
Найти кривую, которую образует свободно висящая цепь, закреплённая за оба конца.
Условие
По какой кривой провисает тяжёлая однородная цепь, подвешенная за два конца? Галилей утверждал, что по параболе. Прав ли он?
Показать ответ
нет: это цепная линия $y=a\ch\frac{x}{a}$, а не парабола
О чём эта задача
Ошибку Галилея заметил семнадцатилетний Гюйгенс ещё в 1646 году, но чем кривая является на самом деле, не знал никто до 1691-го, когда задачу решили сразу трое — Гюйгенс, Лейбниц и Иоганн Бернулли. Разница с параболой невелика и на глаз незаметна: у обеих одинаковы значение и кривизна в нижней точке, а расходиться они начинают лишь в четвёртом порядке. Именно поэтому Галилей и ошибся — он смотрел на верёвку, а не считал. Перевёрнутая цепная линия даёт форму арки, которая держит вес одним сжатием, без изгиба; это знали строители задолго до всякой формулы.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.