Европа · книга II
Четвёрка через мнимые числа
Как звучало тогда
Сначала мне показалось это делом более софистическим, нежели истинным; однако я искал, пока не нашёл доказательства.
Условие
У уравнения $x^3=15x+4$ корень $x=4$ виден сразу. Формула же Кардано даёт $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$. Проверить, что $(2+i)^3=2+11i$, и получить отсюда четвёрку.
Показать ответ
$\sqrt[3]{2+11i}=2+i$, $\sqrt[3]{2-11i}=2-i$, их сумма равна 4
О чём эта задача
Здесь мнимые числа перестали быть курьёзом. У Кардано корень из отрицательного вылезал в задаче, у которой ответа и не было; тут ответ есть, он целый и виден глазом — а формула требует пройти через несуществующие числа и вернуться обратно. Отмахнуться уже нельзя. Этот случай, когда у кубического уравнения три вещественных корня, а формула ведёт через мнимые, называют неприводимым, и обойти его нельзя в принципе: доказано, что вещественными радикалами такие корни не выражаются.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.