Европа · глава XXXVII
Разделить десять так, чтобы вышло сорок
Как звучало тогда
Раздели десять на две части так, чтобы произведение их было сорок. Очевидно, что случай этот невозможен. Тем не менее поступим так: разделим десять пополам, будет пять; умножим само на себя, будет двадцать пять; вычтем сорок, останется минус пятнадцать; корень из него, прибавленный к пяти и отнятый от пяти, даёт части, произведение которых сорок.
Условие
Разделить 10 на две части так, чтобы их произведение равнялось 40. Показать, что вещественных частей с таким свойством нет, и проверить, что предложенные Кардано $5+\sqrt{-15}$ и $5-\sqrt{-15}$ дают в сумме 10, а в произведении 40.
Показать ответ
вещественного решения нет: наибольшее возможное произведение равно 25; $\left(5+\sqrt{-15}\right)\left(5-\sqrt{-15}\right)=25+15=40$
О чём эта задача
Первая в истории запись корня из отрицательного числа — и Кардано тут же от неё открещивается: он называет такие выкладки «столь же утончёнными, сколь бесполезными» и больше к ним не возвращается. Сегодня эта задача — образцовое упражнение на теорему Виета в комплексных числах, и школьник видит в ней всего лишь отрицательный дискриминант. Разница между «невозможно» и «возможно, но не среди привычных чисел» заняла двести пятьдесят лет.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.