Карта → событие
«Отныне пространство и время — фикции»
Доклад
21 сентября 1908 года на 80-м съезде немецких естествоиспытателей и врачей в Кёльне профессор Гёттингенского университета Герман Минковский (1864–1909) прочёл доклад «Raum und Zeit». Он начинался фразой, которую с тех пор цитируют все:
«Отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции, и лишь некоторый вид соединения обоих сохранит самостоятельность».
Годом раньше, в ноябре 1907-го, он уже излагал ту же мысль в Гёттингенском математическом обществе, но именно кёльнский доклад стал событием: он был обращён к широкой аудитории и написан с редкой для математика риторической силой.
Минковский был школьным другом ГильбертаДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. по Кёнигсбергу, а в 1896–1900 годах преподавал в Цюрихском политехникуме, где среди его студентов был Альберт ЭйнштейнАльберт ЭйнштейнЕдинственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет. — не самый прилежный, судя по всему: Минковскому приписывают отзыв о нём как о «ленивом псе», хотя достоверность фразы сомнительна. Через восемь лет бывший студент опубликовал теорию, а бывший преподаватель придал ей форму.
Геометрия с минусом
Идея проста до дерзости. Событие — это четвёрка $(ct,x,y,z)$. Расстояние между событиями измеряется не суммой квадратов, а интервалом:
$$s^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}.$$
Один знак минус — и всё меняется. Проверим, что интервал действительно инвариантен относительно преобразований Лоренца. Возьмём движение вдоль оси $x$:
$$x'=\gamma(x-vt),\qquad t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^{2}}\right),\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} .$$
Тогда
$$c^{2}t'^{2}-x'^{2}=\gamma^{2}\left[\left(ct-\frac{vx}{c}\right)^{2}-(x-vt)^{2}\right]=\gamma^{2}\left(c^{2}t^{2}-x^{2}\right)\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=c^{2}t^{2}-x^{2}.$$
Инвариантность доказана в две строки. Всё содержание специальной теории относительности — сокращение длин, замедление времени, относительность одновременности — оказывается следствием того, что мы измеряем длины этой формой, а не евклидовой.
Знак интервала имеет физический смысл, и он важнее вычислений:
| Знак | Название | Что это значит |
|---|---|---|
| $s^{2}>0$ | времениподобный интервал | события могут быть причиной и следствием; существует наблюдатель, для которого они происходят в одной точке |
| $s^{2}=0$ | светоподобный | события соединяет только луч света; световой конус |
| $s^{2}<0$ | пространственноподобный | причинной связи нет; существует наблюдатель, для которого события одновременны |
Световой конус — это геометрическая запись причинности. Он не зависит от наблюдателя, и потому «раньше» и «позже» — понятия абсолютные внутри конуса и относительные вне его.
Поворот на мнимый угол
Преобразование Лоренца выглядит громоздко, пока не заметить, что это поворот. Введём быстроту $\theta$ соотношением $\th\theta=v/c$; тогда $\gamma=\ch\theta$, $\gamma v/c=\sh\theta$, и
$$\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ch\theta&-\sh\theta\\-\sh\theta&\ch\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}.$$
Сравните с обычным поворотом, где стоят $\cos$ и $\sin$. Разница ровно в замене тригонометрических функций гиперболическими — и в том, что инвариантом становится не $x^{2}+y^{2}$, а $c^2t^{2}-x^{2}$: не окружности, а гиперболы.
Отсюда мгновенно следует правило сложения скоростей. Быстроты складываются, как углы поворота:
$$\theta=\theta_{1}+\theta_{2}\quad\Longrightarrow\quad \th\theta=\frac{\th\theta_{1}+\th\theta_{2}}{1+\th\theta_{1}\th\theta_{2}}\quad\Longrightarrow\quad v=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+v_{1}v_{2}/c^{2}} .$$
Знаменитая формула, вывод которой в учебниках занимает полстраницы алгебры, здесь получается из того, что углы складываются. И сразу видно, почему скорость света непреодолима: $\th\theta<1$ при любом конечном $\theta$, а сложить конечное число конечных быстрот и получить бесконечность нельзя.
Парадокс близнецов как неравенство треугольника
В евклидовой геометрии прямая — кратчайший путь. В геометрии Минковского из-за минуса всё наоборот: прямая мировая линия — самая длинная, если длину мерить собственным временем
$$\tau=\int\sqrt{dt^{2}-\frac{dx^{2}}{c^{2}}} .$$
Отсюда и «парадокс», в котором нет никакого парадокса. Один близнец остаётся дома (прямая мировая линия между двумя встречами), другой улетает и возвращается (ломаная). У ломаной собственное время меньше — путешественник моложе. Это буквально неравенство треугольника с перевёрнутым знаком, и объяснять его удобнее всего именно так: не «кто двигался», а «чья мировая линия короче».
Скорости живут в пространстве ЛобачевскогоНиколай Иванович ЛобачевскийПервым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица.
Здесь сюжет линии замыкается самым неожиданным образом.
Рассмотрим множество всех допустимых скоростей — открытый шар радиуса $c$. Какая на нём естественная геометрия? Расстояние между двумя скоростями разумно определить как быстроту их относительного движения. И тогда оказывается, что этот шар — модель пространства Лобачевского с радиусом кривизны $c$, а именно модель БельтрамиЭудженио БельтрамиПостроил модель, в которой геометрия Лобачевского живёт внутри евклидовой, — и этим закрыл спор длиной в две тысячи лет: если неевклидова геометрия противоречива, то противоречива и обычная. — КлейнаФеликс КлейнОбъяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики., с которой мы уже встречались.
Проверка: сложение неколлинеарных скоростей даёт для быстрот в точности гиперболическую теорему косинусов
$$\ch\theta=\ch\theta_{1}\ch\theta_{2}+\sh\theta_{1}\sh\theta_{2}\cos\alpha,$$
а нарушение коммутативности при неколлинеарных бустах (прецессия Томаса) есть не что иное, как гиперболический дефект треугольника, то есть его площадь. Это заметил Владимир Варичак в 1910 году и подробно разработал в серии работ.
Итог, ради которого стоило проделать весь путь этой линии: геометрия, придуманная в Казани как логическая возможность и объявленная современниками бесполезной, оказалась точным описанием пространства скоростей нашего мира. Не пространства — пространства скоростей; но реальность от этого не меньше.
Реакция и продолжение
Эйнштейн отнёсся к работе бывшего преподавателя прохладно, назвав её «излишней учёностью» (überflüssige Gelehrsamkeit) и пошутив, что после того, как за теорию относительности взялись математики, он сам перестал её понимать. Через три года мнение переменилось радикально: строя общую теорию, он обнаружил, что без четырёхмерного формализма Минковского не сдвинуться с места. Пространство-время Минковского стало «плоским» частным случаем — тем, к чему сводится риманова геометрия в отсутствие тяготения.
Сам Минковский до этого не дожил: он умер 12 января 1909 года от аппендицита, в сорок четыре года, через четыре месяца после кёльнского доклада.
За пределами теории относительности ему принадлежит геометрия чисел — теория, в которой вопросы о целых решениях уравнений сводятся к вопросам об узлах решётки внутри выпуклых тел. Её центральный результат — теорема Минковского: всякое центрально-симметричное выпуклое тело объёма больше $2^{n}$ содержит ненулевую точку целочисленной решётки. Из неё за несколько строк выводятся классические факты теории чисел, например теорема о представлении простого числа вида $4k+1$ суммой двух квадратов. Геометрия и здесь пришла туда, где её не ждали.
Задача. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью $0{,}6c$, а от него в том же направлении стартует шлюпка со скоростью $0{,}6c$ относительно корабля. Найдите скорость шлюпки относительно Земли двумя способами: по формуле сложения скоростей и через сложение быстрот.
(Ответ: $\dfrac{0{,}6+0{,}6}{1+0{,}36}c=\dfrac{1{,}2}{1{,}36}c\approx0{,}882c$. Через быстроты: $\theta_1=\theta_2=\operatorname{arth}0{,}6\approx0{,}6931$, сумма $1{,}3863$, $\th1{,}3863\approx0{,}882$.)
Следующая точка: Берлин — где через семь лет геометрия перестанет описывать пространство и начнёт им управлять.