Реформа Колмогорова: строгость приходит в школу

Зачем понадобилась реформа

К концу 1960-х советская школьная математика была устроена по Киселёву — то есть по книге, написанной в 1892 году.

Претензии к ней были не выдуманные. Курс отставал от науки на семьдесят лет: в нём не было ни множеств, ни отображений, ни векторов, ни вероятности, ни начал анализа в сколько-нибудь современном виде. Выпускник, поступивший на физтех, обнаруживал, что школьная математика и университетская — разные предметы. А стране, строившей ракеты и вычислительные машины, нужны были инженеры в количествах, которых прежняя школа не давала.

Плюс Руайомон: «новая математика» шла по всему миру, и отставать никто не хотел.

Что сделали

Реформу возглавил Андрей Николаевич Колмогоров — на карте он есть много раз, от аксиоматики вероятности до колмогоровской сложности. Школой он занимался всерьёз и давно: основал физматшколу-интернат при МГУ, вёл кружки, редактировал «Квант».

Программа менялась так:

• Теоретико-множественный язык с первых классов: множество, элемент, подмножество, отображение.
• Геометрия на основе преобразований: вместо равенства фигур «наложением» — движения плоскости и векторы. Равенство определяется как существование движения, переводящего одну фигуру в другую.
• Строгость формулировок: определения даются точно, а не описательно.
• Начала анализа, вероятность и статистика — в старших классах.

Учебник геометрии Колмогорова и соавторов вышел в 1970-е и стал обязательным.

Что вышло

Провал, и довольно быстрый.

Причины называют разные, и все они, по-видимому, действовали разом.

Язык оказался тяжелее содержания. Определять равенство треугольников через существование движения логически безупречно — и непонятно тринадцатилетнему, который ещё не видел ни одного движения. Формализм пришёл раньше опыта, то есть ровно та ошибка, о которой шла речь в предыдущей точке.

Учителя не были готовы. Переучивать надо было сотни тысяч человек, а переучивали методичками. Учитель, сам не понимающий, зачем нужно отображение, не мог объяснить этого классу.

Родители не могли помочь с уроками. Это звучит несерьёзно, но именно отсюда пошло массовое раздражение: учебник, по которому взрослый не в состоянии разобрать задачу с ребёнком, воспринимается как враждебный.

К концу 1970-х недовольство дошло до Академии наук. В 1978 году состоялось обсуждение, на котором учебники разбирали резко, и оно было не только методическим: Колмогорова критиковали и коллеги-математики, в том числе Лев Понтрягин, чьи возражения выходили далеко за рамки педагогики. К 1982 году реформу свернули.

Что осталось

Вопреки распространённому мнению — довольно много.

Векторы в школьном курсе геометрии остались и стоят там до сих пор. Понятие движения и симметрии осталось. Начала анализа в старших классах остались. Вероятность и статистика вернулись позже, уже в 2000-е, но идея, что им место в школе, — оттуда.

Не осталось теоретико-множественного языка как основы всего и не осталось стремления к полной строгости. Нынешние учебники — компромисс: аппарат от Колмогорова, изложение ближе к Киселёву.

Чем это кончилось для линии

Здесь стоит остановиться и оглядеться, потому что наша линия прошла этот спор четыре раза.

Евклид строил геометрию на теории отношений — безупречно и трудно. Лежандр вернул число и упростил, заплатив строгостью. Киселёв упростил ещё и честно оговорил пробелы. Колмогоров попробовал вернуть строгость — и обнаружил, что цена выше, чем казалась.

Колебание между строгостью и понятностью — не признак незрелости методики, а её постоянное состояние. Каждое поколение проходит его заново, потому что оптимума нет: есть выбор, и он зависит от того, кого и зачем учат.

Следующая точка: Пекин — где машина начнёт доказывать теоремы о треугольнике сотнями, и человеческая изобретательность в них станет не нужна.