Карта → событие
Коксетер против «Долой Евклида!»
«Долой Евклида! Смерть треугольникам!»
В ноябре 1959 года в аббатстве Руайомон под Парижем собрался семинар Организации европейского экономического сотрудничества, посвящённый школьной математике. Съехались математики и методисты полутора десятков стран, чтобы решить, чему учить детей.
Выступил Жан Дьёдонне — один из основателей группы Бурбаки, человек, который вместе с товарищами переписывал всю математику на языке структур. Его доклад запомнился фразой, ставшей лозунгом:
À bas Euclide! Mort aux triangles!
Долой Евклида! Смерть треугольникам!
Смысл был не в эпатаже. Дьёдонне говорил серьёзно: школьная геометрия в её тогдашнем виде — набор разрозненных фактов о фигурах, не ведущий никуда. Вместо неё надо давать линейную алгебру: векторное пространство, скалярное произведение, линейные отображения. Тогда геометрия окажется частью общей структуры, а не собранием курьёзов, и школьник получит инструмент, которым можно пользоваться дальше.
С этого семинара начинается то, что в мире назовут «новой математикой», а у нас — реформой Колмогорова.
Кто такой Коксетер
Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1907–2003) — англичанин, с 1936 года и до конца жизни профессор в Торонто. На карте он уже появлялся: в 1954 году в Амстердаме он зашёл на выставку Эшера, и из этой встречи вышли гравюры «Предел — круг».
Его называли «спасителем геометрии», и прозвище это не комплимент, а описание положения дел. К середине века классическая геометрия из университетов почти ушла: считалось, что всё интересное в ней сделано, а нужное переводится на язык алгебры. Коксетер тридцать лет занимался ею вопреки моде — правильными многогранниками и многомерными телами, группами отражений, неевклидовыми моделями.
Группы, порождённые отражениями, называются сегодня группами Коксетера, и они оказались нужны там, где он их не искал: в теории Ли, в теории представлений, в комбинаторике. Область, которую хоронили, пригодилась.
Ответ
В 1961 году Коксетер выпускает «Introduction to Geometry».
Это не учебник в обычном смысле и не полемическая брошюра. Это книга, показывающая, что геометрия — живая наука: в ней есть треугольники и окружности, но есть и кристаллография, и теория чисел, и топология, и четырёхмерные тела, и всё это связано между собой.
Полемики в ней почти нет — Коксетер отвечает Дьёдонне не возражением, а предъявлением. Вот геометрия; посмотрите, что в ней есть; теперь решайте сами.
Книгу переиздают до сих пор.
Кто был прав
Никто, и это стоит сказать прямо.
Дьёдонне был прав в диагнозе: школьный курс геометрии действительно распадался на разрозненные факты, и связи между ними ученик не видел. Он ошибся в лекарстве: линейная алгебра, поданная вместо фигур, оказалась для четырнадцатилетнего пустым формализмом. Нельзя строить абстракцию над опытом, которого нет.
Коксетер был прав в том, что геометрия фигур содержательна и красива. Он не ответил на вопрос, как её преподавать, чтобы связи были видны, — а именно этот вопрос и стоял.
Спор кончился ничем, и следы обеих сторон видны в сегодняшней программе: векторы и координаты появились и остались, треугольники никуда не делись, а вопрос, как их связать, каждый учитель решает сам.
Что осталось от Дьёдонне
Докажите векторным способом теорему, которую вы уже доказывали через средние линии: середины сторон произвольного четырёхугольника $ABCD$ образуют параллелограмм.
Затем сравните два доказательства и решите, какое лучше для восьмого класса и почему.
Указание: обозначьте радиус-векторы вершин $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$, $\vec d$. Середины сторон — это $\dfrac{\vec a+\vec b}{2}$ и так далее. Вектор от первой середины ко второй равен $\dfrac{\vec c-\vec a}{2}$, а от четвёртой к третьей — тоже $\dfrac{\vec c-\vec a}{2}$. Две стороны равны и параллельны. Ровно тот же ход, что и через средние линии, — и в этом весь спор: одно и то же рассуждение, записанное двумя языками.
Следующая точка: Москва — где спор Руайомона доведут до конца и посмотрят, что из этого выйдет.