Геометрия уходит в олимпиады

Отдел задач

В 1894 году в Америке начал выходить «American Mathematical Monthly», и заметную часть каждого номера в нём занимал отдел задач: читатели присылают задачи, читатели присылают решения, редакция печатает лучшие.

Жанр этот не американское изобретение — точно так же были устроены лондонский «Educational Times» и бельгийский «Mathesis», где полвека печаталась новая геометрия треугольника. Но к 1930-м годам от того движения остался, по существу, только этот формат: сама дисциплина умерла, а её способ существования — задача, вызов, решение — уцелел.

И тут в него приходит человек, который сделает из этого способ жизни.

Эрдёш ставит задачу

Пал Эрдёш (1913–1996) на карте уже есть — точка 1947 года рассказывает про вероятностный метод и про самого Эрдёша как явление. Здесь он появляется в другой роли: не как автор теорем, а как человек, задающий вопросы.

В 1935 году он присылает в «Monthly» задачу под номером 3740:

Из точки $P$ внутри треугольника $ABC$ опущены перпендикуляры на стороны; их длины $p_a$, $p_b$, $p_c$. Докажите, что
$$PA+PB+PC \geqslant 2\,(p_a+p_b+p_c).$$

Сумма расстояний до вершин не меньше удвоенной суммы расстояний до сторон. Равенство — только для равностороннего треугольника с $P$ в центре.

Утверждение чисто школьное: ни одного понятия сложнее перпендикуляра. Решение пришло через два года — его дали Луис Морделл (тот самый, чья теорема о рациональных точках стоит на карте в теории чисел) и Дэвид Барроу. С тех пор это неравенство Эрдёша — Морделла.

Первые доказательства были громоздкими. Простые нашли позже, и сегодня их несколько — через подобие, через тригонометрию, через неравенство о средних.

Задача Сильвестра, пролежавшая полвека

Второй сюжет этой точки старше и страннее.

В 1893 году Джеймс Джозеф Сильвестр напечатал в лондонском «Educational Times» вопрос:

На плоскости отмечено конечное число точек, не все на одной прямой. Верно ли, что найдётся прямая, проходящая ровно через две из них?

Вопрос выглядит настолько простым, что кажется — либо ответ очевиден, либо контрпример строится за минуту. Ни то, ни другое. Задача осталась без ответа на пятьдесят лет.

В 1943 году Эрдёш, не зная о публикации Сильвестра, поставил её заново — и в 1944-м её решил Тибор Галлаи. Позже выяснилось, что ещё в 1941 году доказательство напечатал Эберхард Мельхиор, и никто этого не заметил.

Так утверждение получило имя теоремы Сильвестра — Галлаи — по человеку, который задал вопрос, и по человеку, который ответил через полвека, минуя обоих, кто отвечал раньше.

Доказательство, которое стоит знать

Самое короткое принадлежит Келли (1948), и оно годится для восьмого класса.

Предположим противное: через любые две отмеченные точки проходит прямая, содержащая ещё хотя бы одну отмеченную точку.

Рассмотрим все пары «точка $P$ и прямая $\ell$», где $P$ — отмеченная точка, $\ell$ — прямая через две отмеченные точки, и $P$ на $\ell$ не лежит. Таких пар конечное число, значит есть пара с наименьшим расстоянием от $P$ до $\ell$.

Опустим из $P$ перпендикуляр в точку $Q$ на прямой $\ell$. По предположению на $\ell$ лежат не меньше трёх отмеченных точек, значит по одну сторону от $Q$ их не меньше двух — назовём ближнюю к $Q$ точкой $B$, дальнюю точкой $C$.

Теперь возьмём прямую $PC$ и посмотрим на расстояние от $B$ до неё. Простой подсчёт показывает, что оно меньше, чем расстояние от $P$ до $\ell$, — а это противоречит выбору наименьшей пары. $\blacksquare$

Смена жанра

Посмотрите, что произошло с элементарной геометрией за эти сорок лет.

В 1880-е годы найти новое свойство треугольника — это была научная работа: результат печатали в журнале, он входил в справочники, на него ссылались.

В 1930-е то же самое стало задачей: её присылают в отдел, её решают читатели, за неё дают строчку в номере. Разница не в содержании — Эрдёш — Морделл ничем не проще точки Лемуана, — а в статусе.

Элементарная геометрия перестала быть областью исследования и стала видом спорта. Международная математическая олимпиада, основанная в 1959 году в Румынии, закрепила это окончательно: задачи по планиметрии в ней с первого года и по сей день.

Это не падение. Спорт — законная форма существования: в нём есть свои чемпионы, свои классические задачи и свои открытия. Просто это другая деятельность, и путать её с наукой не стоит ни в ту, ни в другую сторону.

Следующая точка: Торонто — где на съезде объявят «Долой Евклида!», а в ответ выйдет книга, доказывающая обратное.